关于两两NQD序列部分和的完全收敛性

施建华,林影

(1.漳州师范学院数学与信息科学系,福建漳州 363000；2.上海财经大学统计与管理学院,上海 200433； 3.宁德师范学院数学系,福建宁德 352100)

关于两两NQD序列部分和的完全收敛性

施建华1,2,林影3

(1.漳州师范学院数学与信息科学系,福建漳州 363000；2.上海财经大学统计与管理学院,上海 200433； 3.宁德师范学院数学系,福建宁德 352100)

研究了两两NQD序列部分和完全收敛性的较一般形式,通过NQD序列的截尾方法,以及相关引理,在较宽泛的条件下,得到一类较为广泛的完全收敛性的结果.

NQD序列；完全收敛性；缓变函数

1 引言及引理

完全收敛性是概率极限理论的一个重要研究内容,自1947年Hsu和Robbins提出完全收敛性概念以来,许多学者致力于这方面的研究.对独立随机变量的情形,完全收敛性已有了很深入的结果[1-3].与此同时,由于实际应用的需要,这一课题也转向非独立情形的研究,如两两NQD序列情形.

近年来,关于两两NQD序列完全收敛性的研究引起一些学者和研究人员的注意.文献[4]指出了两两NQD列与独立列的一个本质性区别,并提出了解决两两NQD列几乎处处收敛和完全收敛的一种方式.文献[5]进一步讨论完全收敛性,取消了文献[4]讨论两两NQD列时的附加条件φ*(1)＜1,研究更为宽泛的包含两两NQD列的一类随机变量序列的完全收敛性,在同分布的条件下,给出较两两NQD列部分和之最大值的更一般形式的完全收敛性的充要条件.文献[6]在一定的条件下获得了两两NQD序列的一般双下标加权系数的加权部分和的Lp收敛性和完全收敛性.文献[7]在h-可积的条件下,讨论了关于两两NQD阵列加权和完全收敛性的两个重要定理.

本文在类似于文献[3,8]所示的较宽泛的相关条件下,讨论两两NQD序列的完全收敛性,得到一类较为广泛的结果.以下记C为正常数,并允许在不同的地方表示不同的值,X为随机变量,同时令

2 主要结果及其证明

在讨论完全收敛性的相关结论中,文献[3,8]曾引入如下类型函数,这里做了一些改变.

假设函数φ(x)和H(x)皆为在[0,+∞)上有定义的正值单调函数,且H(x)↑∞,令H-1(x)为H(x)的反函数,

对ⅠⅠ,由条件(A),可得

从而(2.7)式成立.证毕.

由上述定理2.1可得到我们所熟知的一类完全收敛性结论,该结论是文献[9]的结果在两两NQD序列下的推广.

由缓变函数的性质,当αp∈[1,2)或αp∈[2,∞)时,φ(x)为单调正值函数,又H(x)在[0,+∞)上有定义,且H(x)↑∞.

下面一一验证上述三个函数满足定理2.1的条件.由缓变函数性质及分析学的知识、引理1.4,易得.

(A)存在常数c1,c2＞0,使得对任意n≥1,有

对ⅠⅠ,由已知条件,有

结合注2,即得推论2.4.

[1]白志东,苏淳.关于独立和的完全收敛性[J].中国科学:A辑,1985(5):399-412.

[2]Baum L E,Katz M.Convergence rates in the law of large numbers[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1965, 120(1):108-123.

[3]邵启满.关于独立和完全收敛性的进一步探讨[J].应用概率统计,1991,7(2):174-186.

[4]王岳宝,苏淳,刘许国.关于两两NQD列的若干极限性质[J].应用数学学报,1998,21(3):404-414.

[5]张立新,王江峰.两两NQD列的完全收敛性的一个注记[J].高校应用数学学报:A辑,2004,19(2):203-208.

[6]吴永锋.两两NQD列的Lp收敛性和完全收敛性[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(3):605-609.

[7]章茜,王文胜.h-可积条件下两两NQD阵列加权和的完全收敛性[J].吉林大学学报:理学版,2010,48(2):183-188.

[8]苏淳,王岳宝.同分布NA序列的强收敛性[J].应用概率统计,1998,14(2):131-140.

[9]杨善朝.PA序列部分和的完全收敛性[J].应用概率统计,2001,17(2):197-202.

[10]林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础[M].北京:高等教育出版社,1999.

On the complete convergence of the partial sum with NQD sequences

Shi Jianhua1,2,Lin Ying3

(1.Department of Mathematics and Information Science,Zhangzhou Normal University, Zhangzhou363000,China 2.School of Statistics and Management,Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai200433,China； 3.Department of Mathematics,Ningde Normal University,Ningde352100,China)

This article is concerned with the complete convergence for the partial sum of NQD sequences.By using several known lemmas and truncated method,two more general forms of complete convergence about NQD sequences are derived.

NQD random sequences,complete convergence,slow varying function

O211.4

A

1008-5513(2012)04-0483-10

2011-08-17.

福建省自然科学基金(2012J01028)；上海财经大学研究生科研创新基金(CXJJ-2012-423)；福建省教育厅资助科技项目(JA10204).

施建华(1977-),博士生,讲师,研究方向：概率极限理论,应用统计学.

2010 MSC:60F15