三角级数在Burgers-KdV混合型方程中的应用

马敏艳,吉飞宇,鱼翔

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

三角级数在Burgers-KdV混合型方程中的应用

马敏艳,吉飞宇,鱼翔

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

利用三角级数法将Burgers-KdV混合型方程转化为一组非线性代数方程,进而用待定系数法求解方程组,最后求出了Burgers-KdV混合型方程的精确解.

Burgers-KdV混合型方程；三角级数；精确解

1 引言

寻找非线性发展方程精确解的求解方法一直是数学家和物理学家研究的热点问题,近年来,在构造非线性发展方程的精确解领域中涌现出许多有效的方法,如截断展开法、齐次平衡法[12]、试探函数法[34]、F-展开法[5]、分离变量法、Jacobi椭圆函数法[6]、三角级数法、(G′/G)展开法[7]、Backlund变换法[8]、tanh函数展开法[9]等,并利用这些方法求解了许多非线性方程.Burgers-KdV方程的一般形式是:

其中,α,β分别代表耗散系数和色散系数.该方程是人们在研究内部含有气泡的液体流动以及弹性管道中的液体流动等问题时提出的,文献[10]对Burgers-KdV的行波解做了定性分析,但由于未能求得Burgers-KdV方程行波解的表达式,因而不能导得湍流的一些结构特征.文献[1]通过分析Burgers方程和KdV方程的解的形式,采用类比的方法求得了Burgers-KdV方程的单调激波解的形式,并说明解是由冲击波和孤立波组合而成的.大大促进了问题的解决.近年来Burgers-KdV方程作为湍流的规范方程以及解释湍流机理并取得了很大的进展[1213].而且在实际工程中的某些问题也能用Burgers-KdV方程来描述.三角级数法[1415]对于求解非线性发展方程精确解方面显得十分重要,本文利用正是利用三角级数法,成功得到了Burgers-KdV方程的精确解.

2 Burgers-KdV混合型方程

Burgers-KdV混合型方程:

其中A是积分常数.

3 用三角级数将Burgers-KdV混合型方程化为非线性代数方程组

设(4)式的解为如下形式的三角级数：

4 精确解的分析

第一组解和第四组解是平凡解,所以都舍去.接下来分析第二组解和第三组解,首先从(6)式求得w和ξ的关系式,(6)式等号两边同乘以-ksinkw,则有

对上式两边积分可得:

所得u2是虚解,没有明显的物理意义,所以u1是所求方程的精确解.

5 结论

本文通过利用三角级数法求得了Burgers-KdV混合方程的精确解,该方法将一个非线性偏微分方程化为一组易于求解的非线性代数方程,再利用待定系数法求解该代数方程组,所求得的精确解不能用其他方法获得.本文方法对于求解其他非线性偏微分方程将发挥其重要作用,目前正在做进一步研究.

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Apply of trigonometric series in Burgers-KdV equation

Ma Minyan,Ji Feiyu,Yu Xiang

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

The Burgers-KdV equation is changed into nonlinear algebraic equations based on the trigonometric series,and it can be solved by the method of undetermined coefficients and the Maple software.As a result,the exact solution to the Burgers-KdV equation is successfully derived.

Burgers-KdV equation,trigonometric series,exact solution

O175

A

1008-5513(2012)04-0559-05

2011-12-22.

国家自然科学基金(10671156).

马敏艳(1986-),硕士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35Q58