F-S-可补的子群对有限群结构的影响

赵勇

(广安职业技术学院教育系,四川 广安 638000)

F-S-可补的子群对有限群结构的影响

赵勇

(广安职业技术学院教育系,四川 广安 638000)

设F是一个群系.群G的一个子群H在G中F-S-可补,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/K∩HG∈F,其中HG表示G包含在H中的最大的正规子群.本文利用群系理论研究子群的F-S-可补性对有限群结构的影响,得到如下结论:设F是子群闭的局部群系,G是有限群且GF是可解的.则G∈F的充要条件是下列条件之一:(1)G存在正规子群N使得G/N∈F且N的极小子群及4阶循环子群(p=2)均在G中F-S-可补.(2)G存在正规子群N使得G/N∈F,N的4阶循环子群在G中有F-S-补且N的极小子群皆包含在ZF∞(G)中.应用这些结论,可以得到一些推论,其中包括已知的相关结果.

群系;F-S-可补;极小子群

1 引言

1996年,文献[1]引进了C-正规子群的概念,并证明:如果有限群G的极小子群及4阶循环群在G中C-正规,则G是超可解群.1999年,文献[2]证明了G的所有素数阶子群在G中都有补的有限群恰好是Sylow子群是初等交换群的超可解群.还有许多学者利用极小子群的特殊性质研究有限群的结构,文献[3]证明了:若G的每个素数幂阶循环子群是G的弱s-补子群,则G为超可解群.近来,文献[4]引入了F-S-补的概念,并利用了某些子群的F-S-可补性给出了群结构的新刻画.本文将在以上的结论的基础上运用群系理论来讨论极小子群在F-S-补的条件下对有限群结构的影响.

一个群类F称为群系,如果它关于同态像和次直积都是封闭的.一个函数f称为一个群系函数,如果对于任意素数p,f(p)为一个群系.一个群系F称为局部的,如果存在一个群系函数f满足F={G|G/CG(H/K)∈f(p),对于G的所有主因子H/K且p||H/K|},此时称f局部定义了群系F,并记作F=LF(f).如果一个群系满足条件:由G/Φ(G)∈F总有G∈F,则称F为饱和群系.熟知,一个群系是局部的当且仅当它是饱和的.在本文中U表示所有超可解群构成的群类,Np表示所有p-幂零群构成的群类,N 表示所有幂零群构成的群类.明显地,U,Np,N都是子群闭的局部群系.文中所有群为有限群.未交待的定义和符号是标准的.

2 预备知识及引理

3 主要定理

[1]Wang Yanming.C-normality of groups and its properties[J].Joural of Algebra,1996,180:954-965.

[2]Ballester-Bolinches,Guo X Y.On complemented subgroup of fi nite groups[J].Arch.Math.,1999,72(3):161-166.

[3]郭鹏飞,郭秀云.弱s-置换性传递的有限群[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(4):649-653.

[4]Miao L,Guo W.Finite groups with some primary subgroupsF-S-supplemented[J].Comm.Algebra, 2005,33(8):2789-2800.

[5]Guo W.The Theorey of Classes of Groups[M].New York:Science Press,2000.

[6]Li Shirong.On minimal subgroups of fi nite groups III[J].Communications in Algebra,1998,26(8):2453-2461.

[7]徐明曜.有限群导引:上[M].北京:科学出版社,1993.

[8]李长稳,郭文彬.关于F-S-可补子群[J].数学研究与评论,2007,27(1):207-211.

The in fl uence of F-S-supplemented subgroups on the structure of fi nite groups

Zhao yong
(Department of Education,Guang′an Vacational and Technical College,Guang′an 638000,China)

LetFbe a class of groups.A subgroupHis calledF-S-supplemented inGif there exists a subgroupKofGsuch thatG=HKandK/K∩HG∈F,whereHGis the maximal normal subgroup ofGcontained inH.In this paper,theF-S-supplemented subgroups ofGis used to study the structure ofGby the theory of formations.The following results are obtained:LetGbe a fi nite group,Fbe a formation andGFbe soluble. ThenG∈Fif and only if one of the following two conditions:(1)Ghas a normal subgroupNsuch thatG/N∈Fand the subgroups of orderpor 4 ofNareF-S-supplemented inG.(2)Ghas a normal subgroupNsuch thatG/N∈F,the subgroups of prime order ofNare contained in(G)and the subgroups of order 4 areF-S-supplemented inG.By these results,we may get a series of corollaries,which contain known results.

formations,F-S-supplemented,the minimal subgroups

O152.1

A

1008-5513(2012)05-0614-06

2012-01-16.

四川省学术委员会基金(SZD0406).

赵勇(1982-),硕士,讲师,研究方向:有限群论.

2010 MSC:20D10,20D15,20D20