关于正整数有序分拆的一些恒等式和n-colour有序分拆的两个组合性质

郭育红

(河西学院数学系,甘肃 张掖 734000)

关于正整数有序分拆的一些恒等式和n-colour有序分拆的两个组合性质

郭育红

(河西学院数学系,甘肃 张掖 734000)

研究了正整数的无序分拆与有序分拆的关系.给出了正整数的无序分拆与有序分拆的一些恒等式.并且利用菲波拉契数与正整数n分拆成不含分部量1的有序分拆数的关系给出了n-colour有序分拆的两个组合性质.

分拆恒等式;n-colour有序分拆;组合性质;菲波拉契数

1 引言

关于正整数无序分拆的第一个恒等式是由Euler[1]给出的.即:“将正整数分拆成分部量为奇数的分拆数等于将正整数分拆成互不相同的分部量的分拆数”.分拆恒等式一直吸引着数学工作者,同时也产生了许多丰富的结果[2-3].如著名的Rogers-Ramanujan恒等式曾是分拆理论中非常重要而有趣的一部分内容.

然而,在分拆恒等式的研究中,对于与正整数的无序分拆和有序分拆相关的恒等式讨论的却相对比较少.2003年,文献[4]发现了与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一个恒等式,并且分别用分析和组合方法给出了证明.文献[5-7]的作者相继讨论了一些与正整数的无序分拆和有序分拆相关的恒等式.本文第二节在文献[5]的基础上利用Agarwal的组合方法又给出了一些关于正整数有序分拆的恒等式.在第三节,利用菲波拉契数与正整数的n-colour有序分拆的关系又得到了正整数的n-colour有序分拆的两个组合性质.

首先,给出几个定义:

定义 1.1[8]一个2行非负整数矩阵:

叫做正整数n的Frobenius-分拆.

正整数的任意一个无序分拆都能表示成Frobenius-分拆.事实上,在无序分拆的Ferrers图中,假设主对角线上有r个点.将这r个点删掉,然后将主对角线右上方的点分别按各行计算,并将各行的点数仍以Ferrers图中行排列的顺序排成矩阵的第一行;同样将主对角线下方的点分别按各列计数,将各列的点数仍以Ferrers图中列排列的顺序排成矩阵的第二行,如果在Ferrers图中第r行(列)没有点就用“0”计.于是就得到与该无序分拆对应的Frobenius-分拆.

定义 1.2[4]正整数n的“奇-偶”无序分拆是指在n的无序分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现,且最小分部量是奇数的无序分拆.

定义 1.3[5]正整数n的一个“奇”无序分拆是指其分部量为互不相同的奇数的无序分拆.

定义 1.4[5]正整数n的一个“偶”无序分拆是指其分部量为互不相同的偶数的无序分拆.

定义 1.5[4]一个k-弯是指在第一行和第一列各有k个点的向右弯曲的图.

例如,下图就是一个3-弯:

在文献[4-5]中已经证明了下述定理:

定理 1.1[4]将正整数n分拆成分部量为奇数的有序分拆数等于将正整数分拆成最大分部量为n的“奇-偶”无序分拆数.

定理 1.2[5]将偶数n分拆成分部量为偶数的有序分拆数等于将正整数分拆成最大分部量为n的“偶”无序分拆数.

注 本文中未加说明的概念或符号的含义与文献[2]中的相同.

2 关于正整数有序分拆的恒等式

给出下面的定理:

定理 2.3 正整数n的有序分拆数等于最大分部量为2n−1的“奇”无序分拆数.

证明 将定理 2.2中最大分部量为 n且满足 Frobenius-分拆的自共轭无序分拆对应的Ferrers图中的每一个k-弯拉直就得到最大分部量为2n−1的“奇”无序分拆数.

例 4 取n=4,则最大分部量为7的“奇”无序分拆有:

3 n-colour有序分拆的两个组合性质

文献[9-10]拓广了正整数无序分拆的概念,给出了正整数的n-colour无序分拆.即在正整数ν的无序分拆中对于每一个分部量n着n种不同的颜色.他们将这n种不同的颜色用下标表示为:n1,n2,…,nn.类似正整数的有序分拆,文献[11]又定义了n-colour有序分拆.即在n-colour无序分拆中考虑了分部量的顺序.例如,3有8个n-colour有序分拆:

关于n-colour有序分拆的许多性质见文献[10-11].文献[11]给出了下述结果:

引理 3.1[11]设C(m,ν)和C(ν)分别表示正整数ν分成m个分部量的n-colour有序分拆数和ν的所有n-colour有序分拆数;c(m,q)和c(q)分别表示c(m,ν)和c(ν)的生成函数.则

其中,Fn表示第n个Fibonacci数.

文献[4]利用正整数有序分拆和无序分拆的关系以及菲波拉契数与n-colour有序分拆的关系给出了n-colour有序分拆的一些组合性质.在这一节中,将利用菲波拉契数以及文献[5]给出的正整数不含分部量1的有序分拆的组合性质给出n-colour有序分拆的两个组合性质.首先给出下面引理.

于是,得到ν的n-colour有序分拆的两个组合性质:

定理 3.1 正整数ν的n-colour有序分拆数等于2ν+1不含分部量1的有序分拆数.

证明 由引理3.2知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于第2ν个菲波拉契数F2ν,又由引理3.1的(4)式可知ν的n-colour有序分拆数等于F2ν,故正整数ν的n-colour有序分拆数等于2ν+1不含分部量1的有序分拆数.

由引理3.3和定理3.1就得到下面的性质:

定理 3.2 正整数ν的n-colour有序分拆数等于最大分部量是2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数.

证明 由引理3.3知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于最大分部量为2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数,又由定理3.1可知2ν+1不含分部量1的有序分拆数等于正整数ν的n-colour有序分拆数,故正整数ν的n-colour有序分拆数等于最大分部量是2ν+1,各分部量≠1且相邻分部量之差≥2的无序分拆数.

[1]MacMahon P A.Memoir on the compositions of numbers[J].Philos.Trans.Roy.Soc.London A,1894, 184:835-901.

[2]Andrews G E.The Theory of Partitions[M].Cambridge:Cambridge University Press,1998.

[3]Alladi k.A Variation on a theme of Sylvester-a smoother road to Gollniz(Big)theorem[J].Discrete Math., 1999,196:1-11.

[4]Agarwal A K.An analogue of Euler′s identity and new combinatorial properties of n-colour compositions[J]. J.Computational and Applied Mathematics,2003,160:9-15.

[5]郭育红.与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等式[J].数学学报,2007,50(3):707-710.

[6]黄凤英,柳柏濂.与有序分拆相关的一些恒等式[J].数学学报,2009,52(2):403-408.

[7]邢林燕,尤利华.与无序分拆和有序分拆相关的几个新的恒等式 [J].西南师范大学学报:自然科学版, 2010(1):20-23.

[8]Frobenius G.Uper die Charakter der Symmetrischen Gruppe[M].Berlin:Sitzber.Press,1900.

[9]Agarwal A K.Rogers-Ramanujian identities for n-color partitions[J].J.Number Theory,1988,28(3):299-305.

[10]Agarwal A K,Andrews G E.Rogers-Ramanujian identities for partitions with“N copies N”[J].J.Combin. Theory Ser-A,1987,45(1):40-49.

[11]Agarwal A K.n-colour compositions[J].Indian J.Pure Appl.Math.,2000,31(11):1421-1427.

Some identities are relative to compositions and two combinatorial properties of n-colour compositions

Guo Yuhong
(Department of Mathematics,Hexi University,Zhangye 734000,China)

This paper discusses some relations between partitions and compositions of integers.As main results, some identities between partitions and compositions are obtained.Further,two combinatorial properties of the n-colour compositions,involving Fibonacci numbers and the number of compositions of n in with no part 1 appearing,are also presented.

partitions identity,n-colour compositions,combinatorial property,Fibonacci number

O157

A

1008-5513(2012)05-0590-05

2011-10-10.

甘肃省高等学校研究生导师科研项目(200809-04);河西学院校长基金(XZ2011-01).

郭育红(1970-),硕士,副教授,研究方向：组合数论.

2010 MSC:05A17