共道干扰下多入多出系统功率分配最优化问题

姚志强 王万蕾 裴廷睿 彭 滔 盛孟刚

（1.湘潭大学信息工程学院，湖南 湘潭 411105；2.智能计算与信息处理教育部重点实验室，湖南 湘潭 411105）

引 言

构成多输入多输出（MIMO）信道的独立传输链路在没有共道干扰的通信中可以极大地提高网络容量［1－2］，已 经 是 无 线 局 域 网 （WLAN）IEEE 802.11n［3］、无线城域网（WMAN）IEEE802.16e［4］，以及下一代移动通信网（如LTE）［5］的核心技术。而当系统中存在共道干扰时，虽然会影响单条链路的信道容量，但如果对系统传输方案进行优化设计，却可以利用同时传输链路数的增加，获得更大的网络容量［6－7］，比如多用户 MIMO 系统、分布式 MIMO系统以及MIMO Ad hoc网络［8］。根据MIMO共道干扰通信理论［6－10］，即使在存在共道干扰的情况下也能在一定条件下分离多个独立的数据流，这样就能使网络具有多对节点同时通信的模式，增加数据交换节点的数量，进一步提高网络容量［6］。

Blum首先给出了共道干扰情况下MIMO信道模型和容量模型以及发射端工作在信道信息（CSI）未知状态时 MIMO 系统的信道容量［9］。文献［10－11］则分别给出了CSI已知情况和部分已知情况下系统的信道容量。怎样确定有干扰情况下的MIMO链路的信道容量见文献［12－13］.Y.Song提出观点来解决两个问题［13］：干扰如何影响MIMO系统？通过理论分析，哪种干扰环境更可取（或更不可取）？文献［14－16］评估了估计信道和干扰对容量的影响，通过仿真研究了信道容量与天线数目变化的关系，文献［17］给出了大量天线限制下的闭型解决方法，其中包括了干扰存在的情况。Blum证明在弱干扰情况下，平均分配功率可以使信道容量达到最大，而在强干扰情况下，使用单一发射天线可以使系统信道容量最大化［9］。文献［18］－［25］在文献［9］的基础上，进一步讨论了从最优信号和天线选择的角度来最大化互信息的方法，如独立注水、迭代注水、平均分配功率、最小误比特率功率分配、单流量方案、全局和迭代梯度投影算法等。

目前，研究工作正从单纯的共道MIMO容量研究，转为研究网络应用中共道干扰下的系统优化设计，如移动通信网中如何消除MIMO多用户共道干扰、Ad hoc网络中MIMO节点如何克服共道干扰以实现多对节点同时通信等问题。本文的目标是通过对信道模型的分析和信道互信息最大化条件的归类，总结在各种共道干扰情况下最大化MIMO系统容量的优化方法，分析在不同共道环境下的优缺点，为工作在共道环境下的MIMO系统最佳信号设计提供参考。同时，指出目前共道MIMO系统优化设计存在的不足，提出这一领域进一步的研究方向。

1 系统模型

式中：ρl表示用户l信噪比；Hl，l表示用户l发射天线与接收天线之间的信道矩阵；xl表示用户l的输入信号；ηl，j表示用户j产生后由用户l接收的干扰噪声比；Hl，j表示用户l接收天线与用户j发射天线之间的信道矩阵；噪声向量nl是独立同分布的零均值和单位方差复高斯向量，其协方差矩阵为I.

为了简单起见，假设所有的干扰信号xj，j＝1，…，L，j≠l对接收端是未知的，并把它们建模为高斯分布，这是MIMO问题中最常见的最佳信号的形式。归一化xj使得干扰信号协方差矩阵Qj＝E｛｝满足tr（Qj）＝1，j＝1，…，L.对于每个用户在不知道准确的干扰环境而选择信号传输方案时，这种模型是非常适合的。

所要讨论的L条链路共用同一个时间带宽／频率带宽的情况，如图1所示（L＝6），其中实心圆代表信源节点，空心圆代表目的节点，节点1、2、3分别向节点4、5、6发射数据，实线代表信号流，虚线代表干扰流。

图1 六节点网络模型

我们在带反馈的平坦瑞利衰落信道下进行研究，即每个信道矩阵由独立同分布（IID）的复高斯随机变量组成，具有零均值和单位方差，其实部和虚部符合N（0，1／2）分布；同时，考虑L个用户的MIMO系统，系统中每个用户有Nt个发射天线和Nr个接收天线，且每个用户都收到来自其他L－1个用户的共道干扰。L个用户的发射端发送独立数据，接收端利用单用户检测独立解码。

用户l接收的（Nr×1）复基带信号模型［10］为

假设发射端获得了完美的信道状态信息（CSI），对给定的H1，1，…，HL，L，通过最大化Il（Q1，…，QL）或I（Q1，…，QL）来最大化信道容量，同时获得带反馈（CSI已知）MIMO系统的最佳发射信号矩阵。基本的思想如下：

根据凸优化理论［26］，设ΦPSD1＝｛｜A是半正定的且tr（A）＝1｝是一个单位迹半正定矩阵的凸集合。构造一个凸组合（Q1，…，QL），它由两个可行集合（Z1，…，ZL）∈ΦPSD1和（X1，…，XL）∈ΦPSD1组成，其表达式为

根据这个模型，研究L个用户系统的最优信号设计问题，就变成了在给定的H1，1，…，HL，L下，寻找最佳的Q1，…，QL∈ΦPSD1最大化I（Q1，…，QL）.

这里，我们关注的是L个用户系统性能I（Q1，…，QL），而不是单用户性能Il（Q1，…，QL）.由式（4）得到，系统互信息I（Q1，…，QL）的特征取决于信噪比（RSN）（ρl，l＝1，…，L）和干扰噪声比（RIN）（ηl，j，j＝1，…，L，l≠j），同时从凹凸函数判断性质可以得到，I（Q1，…，QL）的凹凸性取决于发射信号协方差矩阵Q1，…，QL关于t的二次导数。

文中用到的一些数学表述：（·）＊代表共轭；对矩阵A，AT表示转置，A†表示共轭转置，tr（A）代表矩阵的迹；对矩阵A＝［sij］有A＋＝［max（sij，0）］；I代表单位矩阵，O代表零矩阵。

2 最大化信道容量方法分析

由前面系统信号模型可知，系统互信息取决于信道RSN和RIN，所以根据RSN和RIN所占的比例，分析不同情况下噪声和干扰对系统互信息的影响，并得出不同的解决方案。下面对RSN－RIN空间不同情况下所采用的决定发射信号协方差矩阵的数值方法进行讨论，并对其性能和复杂性进行对比分析。

2.1 RIN和RSN都很小

假设干扰很小时，ηl，j→0，最大化互信息的最佳信号［10］为

式中：是一个Nt×Nt阶且元素全为1的矩阵；0≤γl≤1，l＝1，…，L.在这种情况下，最佳方案随RSN变化，当RSN也极小，即ρl→0时，最佳解在γl＝0时出现，也就是说，最佳信号设计为全1矩阵在每根发射天线上的平均分配：

2.2 RIN＜＜RSN（RSN占支配地位）

2.3 RIN＞＞RSN（RIN占支配地位）

2.4 一般情况

2.4.1 迭代注水

当干扰比较小时，采用迭代注水的思想实现纳什均衡。文献［18］采用迭代方法来决定最优发射相关矩阵和接收转换。在每一次迭代中，每个收发对在接收端测定干扰，同时优化总发射功率下各自的容量。在下一次迭代中，接收端干扰是不同的，计算的传输相关矩阵更接近最优值。这种方案使系统的发射功率最为合理的分配到各个子支路中，使得信道容量的增益取得最大值，但它同时需要用户l发射端已知自身信道状态信息Hl，l和干扰加噪声协方差矩阵Rl.由于用户持续迭代，增加了计算复杂度，且通过数值方法结果显示，这个算法并不总是收敛。

文献［19］致力于解决在向量输入向量输出的高斯多接入信道中寻找最佳发射协方差矩阵的问题，提出采用迭代注水算法来达到最佳信号方向与每条链路最佳功率分配的均衡。而文献［20］在 MIMO高斯干扰信道下，提出了采用迭代注水算法最大化每条链路互信息的理论构想，并且此算法对信道矩阵没有做任何假设，因此，可以应用到任意MIMO干扰系统中。

2.4.2 独立注水

上面的情况下存在特例：当干扰为0，即ηl，j＝0时，Rl＝I，采用独立的注水方案可以得到最佳系统性能。系统中用户根据自身信道状态信息决定自身协方差矩阵，独立的运用传统注水［1］，得出最佳互信息。这种方案只需要知道用户自身的信道状态信息Hl，l，且复杂度很低。

2.4.3 梯度投影算法

一个用户的协方差矩阵的变化会导致所有用户互信息的改变，因此，为了得到系统容量，发射端在决定自身协方差矩阵时必须以特定方式合作，从而得到最大的自身互信息并对其他用户产生最小的干扰。可以采用多种凸优化的方法来寻找最优发射协方差矩阵Ql，不同的方法可以得到不同的结果，得到的系统性能和复杂度也并不相同。如采用牛顿迭代法和最速下降法，可以得到最优的发射协方差矩阵Ql，但它们具有大计算量、高复杂度、对矩阵运算要求高等缺陷。考虑到系统复杂性方面（包括矩阵变量和矩阵运算）的要求，目前采用的是凸约束问题中无约束最速下降法的一种扩展算法——梯度投影（GP）算法［27］。用户数目越大，我们通过梯度投影算法得到的改善越大。我们的目的是在Q1，…，QL∈ΦPSD1的情况下，最大化式（3）中的互信息I（Q1，…，QL）.在文献［25］中，根据用户更新协方差矩阵的方式，有全局梯度投影和迭代梯度投影两种算法，下面进行简单介绍。

1）全局梯度投影

全局梯度投影的过程是：给定初始值Q1（0），…，QL（0），选择合适的步长αk，根据下式（8）来对其进行更新：

式中：Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αk≤1是步长，sk是一个标量，αk和sk通过在可行方向上利用Armijo规则来决定，i＝1，…，L，▽QiI（Q1（k），…，QL（k））是互信息在Q1（k），…，QL（k）处的梯度。由于Qi（k＋1）是Qi（k）和）的凸组合，所以Qi（k＋1）总是属于ΦPSD1.这个更新过程一直持续到其收敛到稳定点，对任意Q∈ΦPSD1满足〈▽I），Q－〉≤0.

这种方法的优势在于它算法简单，在约束条件下得出最优解的效率比较高，矩阵运算没有那么复杂，但是它的复杂度比起迭代注水要高得多，且需要一个集中控制，这个集中控制掌握了所有信道状态信息和全部用户的协方差矩阵，并通过这些信息使得用户更新他们的协方差矩阵。

2）迭代梯度投影

迭代梯度投影是基于全局梯度投影的，它是一个分布式算法，用户通过迭代方法更新自身协方差矩阵。在每一次迭代过程中，当其他用户协方差矩阵还没改变时，用户l利用梯度投影方法来更新自身协方差矩阵Ql.

迭代梯度投影的过程是：选取初始值Q1（0），…，QL（0），选择合适的步长αki，根据下式（10）来对其进行更新：

式中，Qi（k）是Q′i（k）在ΦPSD1上的投影，而

0＜αki≤1是步长，ski是一个标量，αki和ski通过在可行方向上利用Armijo规则来决定，i＝1，…，L.根据梯度投影算法的性质，我们有I（Q（k＋1））≥I（Q（k））.由于I（Q）是上界，迭代梯度投影算法可以确保是收敛的，它总是收敛到一个稳定点。

相比于全局梯度投影算法，迭代梯度投影算法的优势在于它不要求用户即时更新，所以不需要集中控制。每个用户只要知道必要信息，就可以自己更新自己的协方差矩阵。在这个意义上，此算法有点类似于纳什均衡［1］中每个用户独立地最大化函数值。不同的是，这个算法中每个用户最大化系统互信息，而纳什均衡中每个用户最大化自身互信息。此算法与全局梯度投影算法一样，每个用户需要知道所有信道状态信息和全部用户的协方差矩阵，且复杂度也比较高。

2.4.4 主要方案性能对比

根据文献［25］中的性能仿真，可以得到目前常用的独立注水、纳什均衡和迭代梯度投影算法（包括迭代梯度投影和全局梯度投影）的遍历互信息对比，其中迭代梯度投影算法和全局梯度投影算法的性能基本一致，在这里统称为GP（梯度投影）算法。对于2×2MIMO系统，用户L＝2，信噪比RSN为0dB和10dB时的性能如图2所示。

图2显示，独立注水性能是最差的，而梯度投影算法能给出最佳性能。当RIN很小时，GP算法可以获得最佳性能，而独立注水和纳什均衡的仿真结果也非常接近最佳性能；在干扰噪声都比较大的时候，纳什均衡很明显地超越了独立注水算法，而GP算法相对纳什均衡有所改善。

本文根据RIN和RSN所占比例，对不同情况下使用的不同方案进行了简要介绍，表1从复杂度、发射端用户l需求信息、收敛性、协作、集中控制、最佳条件几个方面对各个方案进行了对比。

表1 方案对比

3 存在的问题

综合目前的研究成果来看，共道干扰MIMO系统最优信号设计的研究还存在以下不足：

1）最优解问题

在存在共道干扰下的MIMO系统中，最优性问题求解在于怎样在给定条件下得到最大信道互信息，可以简单表示为

如果仅考虑空间（时不变）功率调度，每条链路的信源协方差矩阵仅优化自身互信息，这种非协作特性必定导致类似纳什均衡［28］的次优解。目前，梯度投影算法［24－25］应用于考虑空间和时间结合的功率调度时，提供了更高的容量，但这个方案具有非凸性，也只能保证局部最优解。

2）网络结构

大部分文献考虑的是一个对称网络，并未考虑非对称网络情况下的空时功率调度问题。对称网络中，对于遍历容量不会出现公平性问题，而一旦是非对称的网络，公平性问题随之产生，代价函数也会改变。在图3［29］中给出一个非对称网络示例，其中五个节点均匀对齐成一条直线，形成了一个到达共同接入点AP的传递链。在给定的时间／频率带宽R、3R、5R内，实线箭头所示的三条链路可以进行功率调度。由于没有能在同一时间／频率带宽发射和接收的节点，虚线箭头所示的两条链路不得不在另一个不同的时间／频率带宽内进行调度。文献［29］对此进行了详细分析。到目前为止，对于非对称网络的通用准则是“成比例公平”，形式为链路容量的对数和。

图3 非对称网络示例

3）信息需求问题

当仅考虑空间功率调度时，所需要的是信道矩阵和发射协方差矩阵的完整信息，这在实际中非常困难；而在仅考虑干扰特别强（凸函数）和特别弱（凹函数）两种情况时，每条链路需要假设一个时不变发射协方差矩阵。近年来，部分学者在带反馈的MIMO干扰系统下设计最优信号方案［11］，或在接收端根据反馈所得的信道状态信息和函数凹凸性以及相关矩阵运算，得到最佳功率调度方案［23，25］。目前，在发射端未知瞬时信道状态信息时，已有研究者对分布式MIMO链路设计了空时功率调度方

案［24］。

4 结 论

本文系统分析了不同的RIN（干扰噪声比）和RSN（信噪比）情况下系统所采用的解决方案，当干扰极小时，系统采用等功率分配来获得最佳性能；当干扰极大时，系统采用单流量方案可以得到最佳性能；而在存在干扰的一般情况下，相比于注水方案和纳什均衡方案，全局梯度投影算法和迭代梯度投影算法可以得到最佳系统性能。在分析的过程中，发现了第3节中所存在的最优解问题、网络结构问题以及信息需求问题，根据这些问题，下一步的研究工作可从以下几个方面开展：

1）深入分析共道干扰下MIMO系统容量的凹凸性问题，找出解决非凸问题的最佳办法，如寻找一个分布式算法，它具有更小的复杂性且需要的信息比迭代梯度投影方法更少，同时它能比纳什均衡提供更好的性能。目前，已有研究者在MIMO Ad hoc网络中提出基于博弈论的理论方法，它相较于注水与梯度投影可以提供更高的能量效率和系统容量。

2）减少搜寻算法的复杂性，利用一些统计量来代替瞬时值，解决最佳功率调度的最佳性问题。

3）考虑空间相关性及其自由度，利用天线选择相关技术得到MIMO系统最佳性能，寻找更好的天线选择方案，从而最大化MIMO系统容量。

4）基于本文中对称网络下共道干扰MIMO系统的相关研究，考虑非对称网络，寻找更好的方法来解决公平问题。

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