快速时域有限差分方法计算矩形缺陷接地结构

引 言

矩形缺陷接地结构（RDGS），是一种新颖的微波电路结构，最初是从光子带隙结构和电磁带隙结构演变而来，通过在金属接地平面上蚀刻出一些形状的栅格“缺陷”，从而让接地电流的分布发生变化，使得某些频段的电磁波无法从其中通过，形成明显的阻带特性。自RDGS提出以来，各种不同栅格“缺陷”形式的结构不断被提出和发展，并得到深入的研究。RDGS具有结构尺寸小、插入损耗小、性能优良、易于加工等优点，可以广泛应用在微波集成电路中，以进一步减小微波电路尺寸，改善微波电路性能，制作宽带滤波器、抑制天线旁瓣、改善效率等方面，在微波集成电路和天线领域有着巨大的应用前景［1－8］。自RDGS提出以来，针对 RDGS的分析和计算方法也得到了不断的发展。从最初的等效电路模型方法，到后来的频域方法，再到现在普遍采用的时域方法。针对各种具体问题，这些方法都有各自的优势，同时也都有各自的不足。等效电路模型方法以形象直观和模型清晰而受重视，对于简单电路结构，计算精度较好，但对于复杂电路结构，其提取相关电路参数十分困难，导致计算精度较低，这致使其适用范围大大受限［5－6］。频域方法，例如频域有限元法（FEM），该类方法从理论到实施都已经非常成熟，其四面体的剖分格式即使对复杂形状的结构，依然能非常准确地逼近，且计算精度较高，该类方法使用非常广泛，是一类非常重要的方法［7－8］。对于单一频率问题，采用频域方法进行处理是精确且合适的。但对于宽频带电磁问题，频域方法就显得十分笨拙。时域方法，例如时域有限差分（FDTD）法，该类方法对电磁问题在时域进行直接计算以获得丰富的时域信息，然后经过简单的时域频域变换，就可以得到宽频范围的频域信息［9－10］。虽然时域FEM 也在不断发展，但在时域FEM的实施过程中，在每一时间步都需要求解大型方程组，导致计算的时间复杂度和空间复杂度较高［11］。RDGS由于其本身的矩形结构特点和宽频的工作特性，如采用等效电路模型方法。则提取电路参数会十分困难；如采用频域FEM，则需要重复计算很多的频率点。考虑到RDGS的几何特征，采用FDTD对RDGS的宽频带特性进行计算较为方便精确。

Courant－Friedrich－Levy（CFL）稳定条件会限制传统FDTD时间步长的取值，为了保证解的稳定性，时间步长的取值受限于空间离散网格。同时为了保证计算精度，空间离散网格必须远小于工作波长。在处理精细结构和进行精确计算时，这两个因素会导致传统FDTD计算总时间猛增，有时甚至超出当前的硬件条件而不可实现。为了克服传统FDTD的这个不足，一些无条件稳定的FDTD被提出和发展，例如交替方向隐格式FDTD（ADIFDTD）和Crank－Nicolson格式FDTD（CN－FDTD）等［12－13］。这些无条件稳定的FDTD能摆脱CFL稳定条件的限制，这样就可以通过增加时间步长，提高计算效率。采用无条件稳定的CN－FDTD和ADIFDTD对RDGS传输系数进行精确计算，深入讨论了CN－FDTD时间步长对计算效率和计算精度的影响，并将CN－FDTD和ADI－FDTD的计算效率和计算精度进行了比较。

1 CN－FDTD在RDGS中的实施和计算误差

1.1 RDGS结构特征

RDGS的结构图和结构参数如图1和图2所示，由于RDGS具有长方体的特征，微带线和栅格“缺陷”也是矩形，完全匹配层（PML）吸收边界条件的设置也具有长方体特征，如图3所示。采用FDTD对具有长方体特征的RDGS进行宽频计算是方便合理的。

1.2 传统FDTD的Yee离散格式

传统FDTD的Yee离散格式如图4所示，在空间上，将电场分量和磁场分量进行错至，每一个电场分量由周围四个磁场分量环绕，同时每一个磁场分量由周围四个电场分量环绕。而在时间上，将电场分量和磁场分量错开，彼此之间相差半个时间步。这样就可以基于相应的电磁问题边界条件和初始值，依靠FDTD逐步推进去计算后各个时刻、计算空间的电磁场分布。

图3 设置PML吸收边界条件

采用传统FDTD的Yee离散格式，对Maxwell微分方程进行离散，能够得到三维离散形式，这里仅给出Ez分量的三维离散形式，如式（1）所示，以说明FDTD的计算过程，其他电磁分量的离散形式可以类似得到，参见文献［10］。由式（1）可知，在每个网格点上各场分量的新值，只依赖于该点在前一时间步长时刻的值和该点周围邻近点上另一场分量早半个时间步长时刻的值。

图4 传统FDTD的Yee离散格式

1.3 CN－FDTD在RDGS中的实施

传统FDTD采用古典显格式差分求解Maxwell微分方程，其时间步长的选择取决于空间离散网格的大小，而为了保证计算精度，空间最大离散网格又必须远远小于工作波长。因此，为了保证计算精度和解的稳定性，空间最大离散网格和时间步长都必须取得很小，这将使传统FDTD计算十分耗时。

CN－FDTD是一种无条件稳定的FDTD，通过理论分析可知，对CN－FDTD每一时间步长的增长因子ξ，总有≤1成立，详细的理论分析可以参见文献［12］。在CN－FDTD中，空间每个网格点上E分量和H分量的放置与传统FDTD的Yee离散格式一样。空间偏微分采用中心差分格式，离散Maxwell方程左边的时间偏微分项仍旧采用中心差分格式，而方程右边采用的是空间中心差分在n和n＋1时刻的平均值。将Maxwell方程进行离散，可得一组离散方程组，进而联立离散后的方程组，整理可得一组关于E分量的线性方程组。这里仅给出一个线性方程组，如式（2）所示，以说明CNFDTD的计算过程，其他线性方程组可以类似得到，参见文献［12］。通过求解该线性方程组可以求得E分量，进而求得H分量。

CN－FDTD需要求解一个大型稀疏矩阵方程组，对这类线性方程组的求解一般有两类方法：一是直接法，如高斯消去法、LU分解法；二是迭代法，如共轭梯度法。直接法较迭代法数值性能稳定，效率较高，但所需内存大；迭代法数值性能不太稳定，效率较低。为了提高稀疏矩阵方程组的求解效率，可以使用预条件技术，如稀疏近似逆、对称超松弛等，以使预条件后的矩阵方程适合于迭代算法的快速求解。对一些特殊问题，可以将直接法和迭代法二者结合以兼顾内存和效率。将高斯脉冲源引入到CN－FDTD计算中，采用共轭梯度法对稀疏矩阵方程组进行求解。

2 数值结果

2.1 不同时间步长CN－FDTD计算结果

5、图6和图7所示，作为对比，图中也给出了传统FDTD计算结果。由图可知，当CN－FDTD时间步长取为2倍、6倍、10倍、14倍CFL时间步长时，CN－FDTD计算结果与传统FDTD计算结果符合很好，平均相对误差 ARE 分别为0.02%、0.22%、0.91%、2.12%；而当 CN－FDTD 时间步长取为18倍、22倍CFL时间步长时，CN－FDTD计算结果与传统FDTD计算结果符合较差，平均相对误差ARE分别达到4.11%、7.61%.这里ARE为平均相对误差，其值等于CN－FDTD计算结果与传统FDTD计算结果之差，再除以传统FDTD计算结果所得百分比的绝对值，然后再取平均值。

采用CN－FDTD对图示RDGS的传输系数进行计算，为了对比，文中也给出了传统FDTD的计算结果。文献［1］已经验证了所采用FDTD计算程序的正确性和有效性。相关参数在FDTD计算中的取值：板长l1＝120mm，板宽l2＝30mm，微带线宽w＝3mm，单元间距d＝20mm，栅格“缺陷”的长度a＝7mm，栅格“缺陷”的宽度b＝7mm，介质材料的相对介电常数εr＝2.65，板厚为1mm，周期单元为5，空间离散网格分别为Δx＝0.25mm、Δy＝0.50mm、Δz＝0.25mm，离散网格为4×60×480.采用如图4所示的PML吸收边界条件，吸收层层数为15.传统FDTD时间步长为CFL步长，即ΔtFDTD＝0.42ps，推进步数为18 000步，物理时间为7 560ps.CN－FDTD时间步长分别取为2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL时间步长：2ΔtFDTD＝0.84ps、6ΔtFDTD＝2.52ps、10ΔtFDTD＝4.2ps、14ΔtFDTD＝5.88ps、18ΔtFDTD＝7.56ps、22ΔtFDTD＝9.24ps，物理时间设置相同。

不同时间步长CN－FDTD计算结果分别如图

图7 CN－FDTD和传统FDTD计算结果

2.2 CN－FDTD时间步长与计算效率

用CFLN表示CN－FDTD时间步长与CFL时间步长的比值；用TSR表示时间节省率，其值等于传统FDTD计算时间和CN－FDTD计算时间之差，除以传统FDTD计算时间所得的百分比。

图8给出了CN－FDTD时间步长与时间节省率的关系。当CN－FDTD时间步长取为2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL时间步长时，时间节省率 TSR 分 别 为 9.1%、37.2%、62.8%、77.2%、82.8%、86.5%.由图8可知，随着 CN－FDTD时间步长的增大，时间节省率越大，即CN－FDTD时间步长越大，计算效率越高。

图8 CN－FDTD时间步长与时间节省率

2.3 CN－FDTD时间步长与计算精度

如前所述，用ARE表示平均相对误差。图9给出了CN－FDTD时间步长与平均相对误差的关系。

由图可知，随着CN－FDTD时间步长的增大，平均相对误差越大，即CN－FDTD时间步长越大，计算精度越低。在实际CN－FDTD计算中，考虑到计算效率和计算精度两方面的因素，应该根据实际的工程需要，合理选择CN－FDTD时间步长，以尽量兼顾计算效率和计算精度。基于计算结果可知，在采用CN－FDTD对这类结构的传输系数进行计算时，取10～14倍CFL时间步长，可以同时获得较高的计算效率和计算精度。

图9 CN－FDTD时间步长与平均相对误差

2.4 CN－FDTD与ADI－FDTD计算误差比较

如前所述，CN－FDTD和ADI－FDTD都是无条件稳定的FDTD，都可以通过增大时间步长，以提高效率。采用ADI－FDTD对同样的问题进行了计算，将各种时间步长CN－FDTD和ADI－FDTD的计算误差进行了比较，图10给出了不同时间步长CN－FDTD与ADI－FDTD计算结果的平均相对误差。由图10可知，在相同时间步长下，CN－FDTD的计算误差要远小于ADI－FDTD。例如，当时间步长取6倍CFL时间步长时，ADI－FDTD的平均相对误差为2.2%，而CN－FDTD的平均相对误差仅为0.22%.CN－FDTD较 ADI－FDTD计算误差要低的根本原因在于，Crank－Nicolson格式具有较高的精度，且ADI－FDTD还存在时间步的分裂误差。

图10 CN－FDTD与ADI－FDTD的平均相对误差

3 结 论

将CN－FDTD应用于RDGS传输系数的计算，基于计算结果，可以得出如下结论：

1）CN－FDTD时间步长可以取远大于CFL时间步长，以获得高计算效率，同时计算精度依然较高。例如当CN－FDTD时间步长取14倍CFL时间步长时，时间节省率达到77.2%，而平均相对误差仅为2.12%.

2）另一方面，随着CN－FDTD时间步长的加大，计算精度会降低。例如当CN－FDTD时间步长取6倍CFL时间步长时，平均相对误差为0.22%；而当CN－FDTD时间步长取22倍CFL时间步长时，平均相对误差达7.61%.

3）为了尽量兼顾计算效率和计算精度，在实际工程计算中，应该合理选择CN－FDTD时间步长。基于对RDGS传输系数的计算，取10～14倍CFL时间步长是合适的。

4）在CN－FDTD和ADI－FDTD时间步长取值相同的情况下，CN－FDTD的计算误差要远小于ADI－FDTD.

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