一种多导体传输线瞬态响应时间步积分法

史凌峰 成立业 曹成美 孟 辰 蔡成山

（1.西安电子科技大学超高速电路设计与电磁兼容教育部重点实验室，陕西 西安 710071；2.西安电子科技大学电路设计计算机辅助设计（CAD）所，陕西 西安 710071）

引 言

随着超大规模集成电路特征尺寸减小、上升时间缩短、集成规模扩大和时钟频率提高，互连线产生的延迟、反射、畸变和串扰等效应将引起电路错误响应，所以信号互连线之间的耦合已经成为影响电路信号完整性以及系统整体性能的重要因素之一［1］。在高速电路中，把信号连接线作为具有分布参数不等长非均匀有损多导体传输线的结构进行建模［2］，并应用传输线理论对其进行分析，能够准确地得到信号连接线上各点的电压和电流值，从而对改善信号互连线之间耦合具有重要的理论指导和应用价值。频域分析方法以及宏模型技术能够方便地处理均匀传输线，但是在处理非均匀传输线时，算法将变得较复杂，导致计算效率的降低以及失去算法原有的简洁性。时域有限差分法（FDTD）［3－6］在分析多导体传输线的过程中能够较方便处理非均匀传输线，然而FDTD方法的计算结果会因为差分算子的不稳定性产生边缘振荡［1，7］，且精度比传统频域方法有所降低。

针对上述FDTD方法的不足，作者提出一种时间步积分方法加以克服。首先对电波方程中的空间微分算子进行差分离散，时间微分算子保持不变，得到一组半离散形式的时域方程［7］。再利用梯形积分法对得到的半离散形式的时域方程中时间微分算子进行积分，最终得到分析不等长非均匀有损耗多导体传输线瞬态响应的时间步积分方法。利用该方法对不等长多导体非均匀有损传输线模型进行数值计算和理论分析，并通过对传输线终端端接线性负载和非线性负载的两种情况进行仿真分析。仿真结果表明了所提方法的正确性和有效性。

1 不等长非均匀有损耗传输线的时间步积分算法

不等长非均匀有损耗导体3传输线的模型如图1所示，其中导体1和导体2均为信号线，导体3（图中未画出）为一无限大金属平板，作为参考导体。L1和L2分别为导体1和导体2的长度。VS表示传输线始端端接的电压源，RS1和RS2表示传输线始端端接的电阻，RL1和RL2表示传输线终端端接的电阻。点A、B、C和D分别表示导体1和2两端的端点。

图1 不等长非均匀3导体传输线

取导线方向为正z方向，在传输线上取任意一小段长度Δz.当Δz足够小，可以近似采用集总参数建模。该小段的等效电路如图2所示，且图2所示的等效传输线即为非均匀多导体传输线。

图2 传输线的等效集总参数模型

不考虑外界电磁场作用，根据基尔霍夫电压和电流定律，可得传输线方程［3］：

式中：V、I分别为多导体传输线上z处在t时刻的电压和电流矩阵；R和G为多导体传输线上z处的单位长电阻和电导分布参数矩阵；L和C为多导体传输线上z处的单位长电感和电容分布参数矩阵；R（z）、G（z）、L（z）和C（z）的 单 位 分 别 为Ω／m、S／m、H／m和F／m.

将不等长非均匀有损耗多导体传输线按图3所示的方式沿着正向z的导线传输方向进行空间步长为Δz／2离散，整个传输线共被划分为2N段。如图3所示，将第1个点设为电压采样点V1，然后将间隔Δz的采样点依次设定为电压的离散采样点V2，V3，……，VN＋1；同理，将第2个点设为电流采样点I1，然后将间隔Δz的采样点依次设定为电流的离散采样点I2，I3，……，直到IN，始端和终端这两个端点处的电流采样点分别设定为I0和IN＋1.这样电压采样点共有N＋1个，电流采样点共有N＋2个，除始端和终端的电流采样点外其余的电压和电流采样点的间隔均为 Δz／2［8］.

图3 多导体传输线上空间离散电压和电流采样点

这样，根据FDTD方法，离散的电压和电流采样点的空间微分算子采用一阶中心差分来近似，可以得到如下离散方程式：

对始端和终端电压采样点的空间微分算子分别采用一阶前向和后向差分公式来近似，得到始端和终端的离散方程［9］：

采用梯形积分法对式（2）中的时间微分算子进行积分，可得

整理后，则有

同理以梯形积分法对式（3）中的时间微分算子进行积分，可得到始端和终端的迭代公式为

整理后得由此得出节点上电压和电流的隐式表达式：

整理后，则有

式中：Δz、Δt分别为空间和时间的离散采样步长；k、n分别表示空间、时间的划分数。通常，为了保证上述算法稳定性，必须满足Δt≤Δz／v.当取等号时，Δt为最佳时间步长，其中v为电磁波在多导体传输线中传播的最大模速度［10－11］。

2 算法仿真验证

将图1所示的导体3不等长非均匀传输线作为仿真模型。传输线的分布参数为［1］：

式中：L（z）＝387／［1＋k（z）］nH／m，是传输线的自感；Lm（z）＝k（z）L（z）nH／m，是传输线之间的互感；C（z）＝104.3／［1－k（z）］pF／m，是传输线上的寄生电容；Cm（z）＝－k（z）C（z）pF／m，是传输线之间的互容［12］；R（z）＝50／［1＋k（z）］Ω／m，是传输线上的电阻；G（z）＝0.001／［1－k（z）］S／m，是传输线上的电导；k（z）＝0.25［1＋ sin（6.25πz＋0.25π）］.

导体1的输入电压源波形如图4所示，其上升和下降时间为0.5ns、脉宽为5ns、幅度为1V.

利用Ansoft的2DExtractor场求解器对模型进行仿真，可以得出模型中电磁波在导体1和导体2中信号传播的速度分别为V1＝1.521×108m／s，V2＝1.482×108m／s.因此，为了保证本文提出的时间步积分算法的稳定性，选取传输线的传播速度V1来确定最佳仿真步长。取Δz＝0.002m，根据Δt≤Δz／v，得最佳仿真时间步长为t＝1.315×10－11s.

导体1和2的始端和终端的端接电阻分别设置为：

图4 激励源波形

取导体1和导体2的长度均为0.1m，得到等长的非均匀有损耗多导体传输线的两端各点的电压波形，如图5所示。在相同的仿真条件下，采用文献［3－4］提出的FDTD方法，仿真等长的非均匀有损耗多导体传输线，其得到的仿真波形如图5所示。从图5可以看到，时间步积分法仿真得到的波形能够有效地消除使用FDTD方法所产生的差分振荡；除此之外，两种算法仿真的波形有较好的吻合［13］。因此，作者提出的分析不等长非均匀有损耗多导体传输线的瞬态响应的时间步积分方法在分析等长非均匀有损耗多导体传输线时是准确和有效的。

当导体1和2的长度分别为0.1m和0.2m时，仿真得到的传输线两端的波形如图6所示。比较图6和图5可知，当导体1的长度不变而导体2的长度增加时，导体1两端的电压变化不大，而导体2的D端的瞬态响应时间延长，电压幅度略有下降，并且波形到达稳定状态的时间也延长。原因根据传输线理论中传输线分布参数将造成信号延时解释。同样在相同的仿真条件下，使用文献［3－4］提出的FDTD方法，仿真不等长的非均匀有损耗多导体传输线，其得到的仿真波形如图6所示。从图6可知，时间步积分法仿真得到的波形能够有效地消除使用FDTD所产生的差分振荡。除此之外，两种算法仿真波形是十分吻合的。因此，作者提出的分析不等长非均匀有损耗多导体传输线的瞬态响应的时间步积分方法在分析不等长非均匀有损耗多导体传输线时也是准确和有效的。

在多导体长度分别为0.1m和0.2m，且传输线无损，即R＝0，G＝0的情况下多导体传输线两端的电压如图7所示。比较图6和图7可知，传输线的损耗使得两端的电压有所下降，其与传输线的理论相一致。

以上的仿真波形都是在终端端接电阻的情况下得到的。现在考虑终端端接非线性负载电容时传输线两端的电压波形。仿真模型如图8所示［1］。导体1端所加的激励源与前面端接电阻时的激励源相同。仿真所得的电压波形如图9所示。比较图6和图9可知，图9中各点的电压响应达到稳定状态所需的时间比图6所需的时间长，并且电压幅度比图6的幅度大。原因是由于非线性负载的存在，点B和点D处的电压反射系数较大，从点A、C传来的电压波到达点B、D后，电压幅度增大，反射波回到点A、C后，点A、C的电压幅度也增大，这样经过多次反射后，各点的电压响应达到稳定状态。作者所提出的时间积分法差分格式是一种稳定条件下的差分格式，所选取步长必须在稳定条件下，终端接有非线性负载并且终端无激励源，这样以减小数值反射［4］。

根据电容的电压和电流公式I＝CdU／dt，采用作者提出的时间步积分法可以得到终端短接电容时的公式为

当电容值为2pF时，仿真结果如图9所示。

3 结 论

针对不等长非均匀有损耗多导体传输线之间的耦合计算问题，作者提出一种用于分析不等长非均匀有损耗多导体传输线的瞬态响应的时间步积分方法。该方法在对不等长非均匀有损耗多导体传输线的建模过程中，能够较方便地求解耦合状态下的不等长非均匀有损耗多导体传输线。通过仿真验证结果表明所提方法能够有效地消除计算结果由于采用中心差分的方法所造成的边沿振荡，对不等长非均匀有损耗传输线的研究提供理论参考。

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