基于希尔伯特－黄变换提取车桥耦合系统时频特性

陈双喜，林建辉，陈建政

由于轮轨接触几何关系的非线性、轮轨接触蠕滑力的非线性、悬挂刚度和阻尼的非线性等因素［1－2］存在，车辆－轨道－桥梁耦合系统的振动是非线性、非平稳随机过程。常用的分析方法主要是以傅里叶变换为基础的谱分析［3－4］。在分析线性、平稳信号时，傅里叶变换有良好的性能，但在分析非线性、非平稳信号时候，傅里叶变换是在整个时间轴积分平均，因此无法反映非平稳信号的时变特性。基于经验模态分解(EMD)的Hilbert-Huang变换是分析非线性、非平稳信号的方法，吸取了小波变换多分辨率优势，同时克服了基函数选取的困难，具有良好的局部适应性，且不受Heisenberg测不准原理制约，可以在时间和频率同时达到很高的精度。因此该方法已用于地球物理学、生物医学等领域的研究，并取得良好效果。本文把一种基于改进EMD的Hilbert-Huang变换引入到车辆－轨道－桥梁耦合动力学振动信号分析中，对由车轮踏面修形(轮轨接触关系变化)引起的车桥耦合系统时频特性变化进行了比较分析，取得了较好的效果。

1 改进EMD与Hilbert-Huang变换

经验模式分解是美国华裔科学家Huang提出的新的信号时频分析方法［5］。它将信号s(t)自适应地分解为多个本征函数IMF(ci)及一个余项r(t)，从而反映信号的内部特点。即:

满足这样两个条件的信号称为本征函数(IMF):①在整个数据序列中，极值点的数量(包括极大值点和极小值点)与过零点的数量必须相等，或最多相差不多于一个;② 在任一时间点上，信号局部极大值确定的上包络线和局部极小值确定的下包络线的均值为零。由于具有自适应分解特性，对非平稳、非线性信号处理具有较高的效率。本文对经典EMD方法进行改进，以改进的极值域均值模式分解方法［6］(IEMMD)来提高局部均值的求解精度;为抑制端点效应，采用两端镜像延拓［5］。

对每个本征函数(IMF)进行Hilbert变换可以得到信号的Hilbert幅值谱，简称Hilbert谱，记作:

公式中频率ωi(t)和幅值αi(t)是时间的变量，可以构成时间、频率和幅值的三维时频幅值谱图H(ω，t)。对公式(2)的时频幅值谱图进行积分得到信号的边缘谱:

其中:T为序列的时间长度。

对信号进行经验模态分解和Hilbert变换可以得到IMF图、时频幅值谱图和边缘谱。边缘谱和傅里叶频谱意义不同，边缘谱表征数据在每个频率点的累积幅值分布，而傅里叶谱每一点频率上的幅值表示在整个信号里有一个含有此频率的三角函数成分。边缘谱的基函数是IMF函数组，是自适应的，因此消除了傅里叶变换的虚假谐波分量，信号的频谱更清晰真实［5］。即边缘谱可以获得时变信号真实的频率分布和幅值。

2 车辆－轨道－桥梁耦合动力学模型

车辆－轨道－桥梁耦合动力学理论的基本思想是，将车辆系统、轨道和桥梁系统视为一个相互作用、相互耦合的大系统，将轮轨关系、桥轨关系作为联结子系统的纽带，综合考察车辆系统、轨道系统和桥梁系统的动力学行为及轮轨、桥轨相互作用特性［2］。车辆－轨道－桥梁耦合动力学模型如图1所示，包括车辆模型、轮轨耦合模型、轨道模型、桥梁模型。车辆模型选取国产和谐号高速动力车。轨道模型选取我国广泛应用的，具有优越减振降噪性能的弹性支承块式无砟轨道。桥梁模型采用有限元模型。轮轨之间采用赫兹非线性接触理论和沈志云－Hedrick－Elkins理论实现车辆系统与轨道系统的耦合，其计算方法见文献［8］。

2.1 车辆模型

车辆模型包括轮对、转向架、车体、一系悬挂、二系悬挂、减振器、抗蛇形减振器、横向止挡等。整个车辆系统振动响应微分方程为［8］:

式中:m，c，k分别为质量、刚度、阻尼矩阵;x，x，x 为系统的位移、速度、加速度矢量;F为载荷矢量。本文建立空间35自由度客车振动模型，详细公式见文献［8］。

图1 车辆－轨道－桥梁耦合动力学模型Fig.1 Model of vehicle/track/bridge coupling system

2.2 轨道模型

弹性支承块式无砟轨道的结构如图2所示，主要包括:钢轨、扣件、混凝土支承块、块下胶垫、橡胶靴套、混凝土轨道板、混凝土底座。其结构特点是钢轨与轨道之间铺设了离散的混凝土支承块，混凝土支承块底部铺有橡胶弹性胶垫，在其周围有橡胶靴套，使支承块与混凝土轨道板隔离，达到可修复的目的。

图2 弹性支承块式无砟轨道Fig.2 The cross section of the elastic bearing block track

考虑到计算规模、精度和计算成本，忽略钢轨的剪切变形和转动惯量的影响，采用Euler梁模型，本文选取钢轨模态阶数为50阶，钢轨振动微分方程［8］为:

式中:EIY，EIZ，GK分别为钢轨的垂向弯曲、横向弯曲和扭转刚度;ρ为钢轨密度;I0为钢轨截面极惯性距;FVi、FLi为第i支点垂向、横向反力;Pj、Qj是第j车轮作用在钢轨上的垂向、横向载荷;Mwj是第j车轮作用在钢轨上的力矩;xsi是第i支点从坐标;xwj是第j车轮坐标;Nv、NL、NT是钢轨垂向、横向、扭转振型最高阶数:Lr是钢轨长度;Ns是钢轨支点数;Zk、Yk、Θk为钢轨垂向、横向、扭转振型函数。

块下胶垫类似有砟轨道的道床，轮轨力通过钢轨扣件和块下胶垫向下传递。轮轨力大小很大程度上取决于轨道系统的刚度。弹性支承块无砟轨道的垂向刚度主要有扣件和块下胶垫提供，横向刚度由支承块的橡胶套靴提供。

支承块模型微分方程为［8］:

式中:FLrVi、FRrVi是左右钢轨作用在第i支承块上的垂向力;FLrLi、FRrLi是左右钢轨作用在第i支承块上的横向力;FLsVi、FRsVi是地基作用在第 i支承块上的垂向力;FLsLi、FRsLi是地基作用在第i支承块上的横向力。

2.3 桥梁模型

高速铁路桥梁多采用预应力混凝土箱梁，结构形式多为简支梁、连续梁或连续刚构，桥上一般为双线。以标准跨径为32 m的双线混凝土简支箱梁为例，采用有限元方法离散［7］。每跨混凝土简支箱梁划分为53个等截面空间梁单元，单元长度为0.6 m，每个单元2个节点，每个节点6个自由度(3个平动、3个转动自由度)。梁单元结构阻尼采用Rayleigh阻尼［7］。

2.4 轮对踏面磨耗

以实测车轮踏面外形数据作为轮轨接触模型的输入来计算赫兹法向接触力和蠕滑力，实现车辆轨道系统耦合。典型的轮对踏面外形和磨耗如图3所示。其中图3(a)为修形前后的车轮外形与标准LMA踏面的比较，图3(b)为修形前后车轮踏面的磨损量。修形前，在车轮踏面横坐标－10 mm～20 mm范围内(即名义滚动圆附近)和－30 mm～－40 mm范围内的轮缘部分，车轮踏面磨耗较大。车轮踏面修形后，踏面磨耗量大幅降低，轮缘厚度、踏面锥度均减小。

轮对滚动圆半径差随着轮对的横移而变化，它体现了轮对的直线运动稳定性和曲线通过性能。横移量较小时，半径差越小临界速度越高;横移量较大时，半径差越大曲线通过性能越好。滚动圆半径差与轮对横移量之比的一半称为车轮踏面的等效锥度，是工程上常用的重要指标。图4为车轮踏面修形前后典型的等效锥度变化曲线。当轮对横移0～9 mm范围内，轮对滚动圆半径差在修形后得到有效地减小，这说明在小幅度晃动(小于3 mm)和正常晃动下(通常为3～8 mm)下动力车的临界速度在车轮踏面修形后得到明显提高。当轮对横移大于9 mm，轮对滚动圆半径差在修形后更加迅速地增大，且比修形前增加的更快，这说明车轮踏面修形后列车曲线通过性能也得到明显提高。

图3 车轮外形与磨耗Fig.3 Profile and worn wheel

图4 车轮踏面等效锥度Fig.4 Equivalent conicity of wheel tread

2.5 数值计算方法

对于这种大型复杂非线性动力学高阶微分方程组，目前只能采用直接数值积分法。车辆、轨道系统采用翟婉明提出的新型快速显式积分［8］求解，桥梁系统动力学方程采用Newmark－β方法［7］求解。

3 典型的车桥耦合系统动力学特性比较

线路桥梁模型如图1所示，为双线混凝土简支箱梁，梁体扭转惯性矩Ixx=1.4 m4，y方向惯性矩 Iy=11.36 m4，z 方向惯性矩 Iz=114.6 m4，截面面积 A=9.9 m2，总体长度为120 m(线路)+64 m(两跨)+120 m(线路)。假设列车运行速度330 km/h。以转向架横向振动加速度和桥梁跨中振动加速度为例，运用改进EMD和Hilbert-Huang时频分析方法，分析车轮踏面修形前后车桥耦合系统振动特性变化情况。

3.1 转向架横向加速度比较

转向架横向振动加速度是评价横向稳定性的重要指标，以此为例分析车轮踏面修形前后车桥耦合系统动力学时频特性变化情况。如图5所示，列车过桥时转向架加速度变化明显。车轮踏面修形前后，转向架横向振动加速度均值变化不大，但修形后高频振动分量明显降低。由于振动加速度幅值变化不大，车轮踏面修形对列车横向稳定性的影响不大。转向架横向加速度的傅里叶频谱如图6所示，车轮踏面修形前后转向架横向振动加速度傅里叶频谱几乎没变化。振动频率集中在 2.5 Hz、5.8 Hz、9.1 Hz和 11.7 Hz附近。

对车轮踏面修形前后转向架横向振动加速度进行改进的EMD分解，得到多个IMF(图6)，然后对每个IMF进行Hilbert-Huang变换，得到三维时频幅值谱(图7)。列车在桥上，转向架瞬时频率有明显变化;车轮踏面修形前，幅值较大振动频带在10 Hz以下;车轮踏面修形后，频率分布有明显变化，幅值较大振动频带主要在5 Hz以下。

对图7所示的时频幅值谱在时间上积分，得到振动信号的Hilbert边缘谱。修形前频率集中在2.5 Hz、4.5 Hz和 5.8 Hz;修形后频率集中在为 2 Hz和 4.1 Hz。与图6所示的傅里叶谱比较可知，车轮踏面修形后振动加速度主频的微弱变化在边缘谱中得到明显的区分。由于消除了傅里叶变换的虚假谐波分量，车轮踏面修形前后频谱变化清晰明显，反映出振动信号的微弱变化，即更清晰真实。

3.2 桥梁振动加速度变化比较

桥梁振动加速度是桥梁安全评估的重要指标。图9所示为车轮踏面修形前后，列车过桥时桥梁第一跨(1#跨)跨中垂向振动加速度波形，车轮踏面修形引起的桥梁振动变化并不明显。图10为桥梁1#跨跨中垂向振动加速度的傅里叶频谱，车轮踏面修形前后振动加速度的振动主频均为11.9 Hz、14.7 Hz、80.7 Hz。可见，从傅里叶频谱无法看出由于车轮踏面修形引起的桥梁系统振动的微弱变化。

对图9所示的桥梁1#跨跨中垂向振动加速度进行改进的EMD分解，得到多个IMF，然后对每个IMF进行Hilbert-Huang变换，得到三维时频幅值谱。同理对三维时频幅值谱在时间上进行积分，得到桥梁1#跨跨中垂向振动信号的Hilbert边缘谱(图11)。车轮踏面修形前，振动频率集中在为 1.25 Hz、6.25 Hz、7.9 Hz和11.7Hz;车轮踏面修形后，振动频率集中在为0.8 Hz、1.6 Hz、5.8 Hz和12.9 Hz。与图10 所示的傅里叶谱比较可知，振动加速度的傅里叶频谱和Hilbert边缘谱在12 Hz附近均存在明显的振动主频，而车轮踏面修形后振动主频的微弱变化仅在Hilbert边缘谱中得以表现。由于消除了傅里叶变换的虚假谐波分量，车轮踏面修形前后频谱变化清晰明显，反映出桥梁振动信号的微弱变化。而对比图8和图11还可以发现:转向架的动力响应对车轮踏面外形变化比桥梁更为敏感。

图11 1#跨跨中垂向振动加速度边缘谱Fig.11 Marginal spectrum of lateral acceleration of mid-span of bridge

4 结论

车轮踏面修形后，等效锥度明显变小，轮轨接触关系发生明显变化，直接导致车辆桥梁耦合系统动力响应的变化。传统的基于傅里叶变换的分析方法，无法识别耦合系统的动力响应变化情况。而基于改进EMD的Hilbert边缘谱对车桥耦合系统的频域特性具有更高的分辨率，能清晰刻划车轮踏面修形前后耦合系统时频特性的微小变化。研究表明:列车边桥时，转向架的动力响应对车轮踏面外形变化比桥梁更为敏感。

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