三次函数的一个性质

周晓东

对于二次函数的图像和性质，我们已做了深刻挖掘且对其结论也已铭记于心，而对于三次函数的图像和性质，我们却知之甚少。由于三次函数是高中数学中研究导函数的载体，因而是我们高中数学教师必须研究的。

定理：任何一个三次函数的图像都是中心对称图形。

证明：设三次函数为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(-+x)+f(--x)=[a(-+x)3+b(-+x)2+c(-+x)+d]+[a(--x)3+b(--x)2+c(--x)=a(-)[(-+x)2-(-+x)(--x)+(--x)2]+b(+2x2)+c(-)+2d=2d-+。

即对任意x都有f(-+x)+f(--x)=2d-+，因而三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)关于点（-，d-+）对称，因此任何一个三次函数的图像都是中心对称图形。

由上面的证明不难看出：对称中心的横坐标为函数f(x)二阶导的零点，即：函数f(x)的导数f''''(x)=3ax2+2bc+c的导数6ax+2b的零点，故x=-；对称中心的纵标为函数值f(-)。如三次函数f(x)=2x3-3x2+2x-1的对称中心的横坐标的求法：f''''(x)=6x2-6x+2，f''''(x)=6x2-6x+2的导数为f''''''''(x)=12x-6，由f''''''''(x)=0x=对称中心的纵坐标为f()=2×-3×+2×-1=-，故对称中心为（，-）。

实际上，如果一个三次函数在R上不单调，那么它的函数图像的对称中心为函数的两个极值点连接线段的中点。

推论：任何一个三次函数经过平移变换都能变为奇函数。

证明：设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，由定理知：图像的对称中心为（-，d-+)，则把原函数的图像向左平移-个单位，向下平移(d-+)个单位（不妨设->0,d-+>0），若为负则向相反的方向平移，对应的函数解析式为g(x)=a(x-)3+b(x-)2+c(x-)+d-(d-+)=ax3+(c-)x，显然，g(x)=ax3+(c-)x(a≠0)是奇函数。

应用1：已知函数f(x)=x3-2x2+2x+1，a∈R，对x∈R都有f(a+x)+(a-x)为常数，则=a=___。

思路分析：由已知条件为常数可知：函数的图像是一个中心对称图形，且对称中心的横坐标为a.这就启发我们三次函数的相关性质：任何一个三次函数的图像都是中心对称图形吗？显然是正确的。函数f(x)=x3-2x2+2x+1的导数为f''''(x)=3x2-4x+2，f''''(x)=3x2-4x+2的导数为f''''''''(x)=6x-4，由f''''''''(x)=0得x=，f()=()3-2×()2+2×+1=，所以，f(a+x)+f(a-x)=，a=。

在我们高三的数学复习中用这个性质可以编很多题目，如：已知函数f(x)=2x3-12x2+4x-1，若存在实数a，对任意的实数x1,x2，当x1+x2=2a时，f(x1)+f(x2)为常数，则这个常数为___。

思路点拨：这是一个三次函数的问题，自变量之和一定时函数值之和也一定，就是暗指这个函数的图像是中心对称图形。因为三次数数的图像为中心对称图形，f''''(x)=6x2-24x+4，f''''''''(x)=12x-24，由f''''''''(x)=0得x=2，故a=2，f(a)=2×8-12×4+4×2-1=-25，故这个常数为-25。

其实针对三次函数的这个性质我们还可以编这样一个题目：直线l过点(a，b)且斜率为k，点(a，b)在曲线C上，直线l与曲线C的另外两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)。问是否存在点(a，b)，对于无数个k都有f(x1)+f(x2)为常数，若存在，求出点(a，b)；若不存在，请说明理由。

迷途点击：若用传统方法联立方程组y-b=k(x-a)y=2x-12x+4x-1，显然计算量太大，也无解题方向，无法求解。若换一种思维：存在无数个k都有f(x1)+f(x2)为常数，其实是说明这个函数的图像是一个中心对称图形。而三次函数正好具有这个性质。由应用二知：对称中心为（2，-25）。

总之，只要我们理解了这个性质，就能编出大量与此性质有关的问题。

（徐州市九里中学）