对几组易混淆函数值域求解的探究

伍爱红

求函数值域没有固定模式和方法，但对于不同的函数类型，有针对性的解法最简捷、有效。可是有些函数在结构形式上极其类似，甚至有些只差一个负号，但解法上截然不同，如果考生在这些细微点警戒性不高，稍不留心，便会出现错误。下面，笔者通过归纳对比几组易混淆函数值域的求解，给出辨别技巧及解决策略。

一、 忽视负号，生搬硬套

问题1 求函数F（X）=-的值域，函数g（x）=+ 的值域。

问题2 求函数f（x）=x+3-1-x的值域，函数g（x）=x+3+1-x的值域。

简析：教师应重点强调双根式型和双绝对值型函数值域问题求解的基本方法和特殊方法，尤其是易错点。上面两组问题在函数表达式的结构形式上只差一个负号，但在解法上不一样，学生容易类比迁移解题，出现错误，具体解法如下。

问题1：易知函数的定义域{x？誆-3≤x≤1}，由于函数y=为递增函数，函数y=-也为递增函数，根据在公共定义域中，“增函数+增函数=增函数”的单调性质，函数f（x）为递增函数。

∴f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

显然函数g（x）不能根据“增+减=增（减）”的单调性进行判断，而采用等价转化的形式来处理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

∴4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

∴2≤g（x）≤2。

该题另一解法双换元后数型结合处理，令u=，v=，则u2+v2=4（u，v≥0）且直线l∶u+v=y，即直线v在轴上的截距等于y，数型结合易知y∈[2，2]。

问题2：该类双绝对值型解法有三种，在利用绝对值不等式性质解题时易出错。绝对值不等式性质：a-b≤a±b≤a+b，具体解法如下。

∵x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

∴-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本题易错认为（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点到点-3与1距离之差或距离之和，说明 -3与1两点将数轴化分为三段，结合数轴易找出答案。还有一种解法是去掉绝对值，划分为三段的一次分段函数，做出图像，由图像可知。

点评：利用函数的单调性求值域是常见的方法，除导数法处理外，复杂函数的形成大体分两类，第一类由基本初等函数加减乘除四则运算组合而成，另一类由复合而成。但对单调性的处理截然不同，第一类要熟记一些性质，如增+增=增，增—减=增，第二类的处理根据同增异减的法则处理。

二、名称不一，方法有别

问题3 求下列函数的值域：①y=的值域，②y=。

简析：易发现这两个函数的分母只有函数名称不一样，可解法截然不同，同名的可用函数的有界性解决，异名的应用数型结合更方便。

解： ①函数y=的定义域sinx+2≠0，

∴x∈R，原式可化为sinx=。

由于-1≤sinx≤1，则-1≤≤1，转化为分式不等式组，后解略。

②y==，可看做过定点（-2，1）与动点（cosx，sinx）连线的直线斜率，由于动点是单位圆上的点，

∴看做过点（-2，1）向单位圆引的两条切线的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可变为： sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，两边平方可解出，后略。

三、不顾定义，乱用均值

问题4 求下列函数的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

简析：上两式分子的常数不一，可利用的思想完全不同，如果不细心函数的定义，通用均值不等式法，有点画蛇添足。两式可化为y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽视均值不等式成立的“一正二定三相”等条件，尤其是取最值时，自变量是否在定义域内，否则，利用单调性判断，

错解①原式可化为y=+ ，令t=≥2，

∴函数y=t+ ≥2 =2，当且仅当t=时，即t=1取等号，显然不在定义域中。

正确解法：函数y=t+（t≥2）在[2，+∞）递增，y≥2+=。

②原式可化为y=+ ，令t=≥2，

∴函数y=t+≥2=4 ，当且仅当t=时，即t=2取等号，x=0取最小值。

四、次数之分，换元有别

问题5 求下列函数的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

简析：运用换元法将所给函数的解析式化为较易求解的函数，上两式根号里有次数之别，全用换元思想，当次数是一次时用代数换元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通换元法，转化为二次函数值域的求解，表达式中含有结构的用三角换元法。

解①f（x）=x+的定义域为{x│x<1}。

令t= （t≥0），则x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

∴f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

∵-≤θ≤，

∴-≤θ+≤， -≤sin（？漬+）≤1。

∴-1≤f（x）≤。

综上所述，本文通过具体的一些易混淆问题，介绍了处理函数值域应用的方法和策略及辨别技巧，以帮助学生提高解决这类问题的能力。

（通渭县第二中学）