用机械能守恒定律求解连接体问题

丁玉莉

机械能守恒定律的内容是“在只有重力、弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变. ”在用机械能守恒定律解连接体问题时，一定要注研究对象的选取，中间过程的分析以及能量转化的过程，这样才能正确应用机械能守恒定律解决问题.

■ 一、 机械能守恒定律应用中研究对象系统的选取

机械能守恒定律的研究对象必须是一个系统. 应用机械能守恒定律必须准确的选择系统. 系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒. 对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果.

■ 例1如图1所示，长为2 L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求：

（1） A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？

（2） 轻杆对A、B球各做功多少？

（3） 轻杆对A、B球所做的总功为多少？

■ 解析有学生分别选A、B球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：

mgl=■mv2A，mg2l=■mv2B

由上两式得：vA=■，vB=■

上述解法其实是不对的，错在何处呢？是系统选择错误. 事实上，小球A（或B）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A、B两球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）. 对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错. 那么，应该选择什么系统呢？应选A、B球及地球所组成的系统，机械能是守恒的.

（1） 选A、B及地球为研究系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：■mv′2A+■mv′2B=mgl+mg2lvB=2vA

由上面两式可得：

v′A=■，v′B=■

（2） 由（1）不难得到：v′AvB

即A、B间的轻杆对B球做正功，对A球做负功.

轻杆对A球做功为：

WA=■mv′2A-■mv2A=-0.4mgl

同理可得，轻杆对B球做功为：WB=0.4mgl

（3） 轻杆对A、B所做总功为0.

■ 分析从（2）不难看出轻杆对小球B做了正功，对A球做了负功. 从（3）可得到，A、B两球及轻杆这一系统，并没有机械能与其他形式能量的转化，故机械能守恒. A、B间轻杆的作用之一是实现了A球与B球之间机械能的传递.

■ 二、 机械能守恒定律应用中物理过程的选取

机械能守恒定律也是一条过程规律，在使用时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态. 选取物理过程必须遵循两个基本原则，一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化. 可选全过程，有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解.

■ 例2如图2所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长均为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上. L>h，A球刚跨过桌面. 若A球、B球下落着地后均不再反弹，则C球离开桌边缘时的速度大小是多少？

■ 解析本题描述的物理过程是：A球下落带动B、C球运动. A球着地前瞬间，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上. 因A球着地后不反弹，故A、B两球间线松弛，B球继续运动并下落，带动小球C，在B球着地前瞬间，B、C两球速率相等. 故本题的物理过程应划分为两个阶段：从A球开始下落到A球着地瞬间；第二个阶段，从A球着地后到B球着地瞬间.

在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：mgh=■（3m）v21

第二个阶段，选B、C两球及地球为系统，机械能守恒，则有：

mgh=■（2m）v22-■（2m）v21

由上面两式求解得：v2=■

在A球撞地后受到冲击力，将A球速度瞬间减为0，之后就需要换取研究对象和过程，才能正确求解.

■ 三、 利用机械能守恒定律的另一表达式ΔEk+ΔEp=0解题

在运用机械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2时，必须选取零势能参考面，而且在同一问题中必须选取同一零势能参考面. 但在某些机械能守恒的问题中，运用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2求解不太方便，而运用ΔEK+ΔEP=0较为简单. 运用ΔEK+ΔEP=0的一个最大优点是不必选取零势能参考面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可.

■ 例3如图3所示，一固定的斜面，θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一软弱的细线跨过定滑轮，两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H.

■ 解析取A、B及地球为系统：

ΔEK=-ΔEP

■（4m+m）v2=4mg·s·sin30°-mgs①

对B：0-v2=2（-g）h②

H=s+h③

由①②③得：H=1.2s

物体系内“只有重力或弹簧的弹力做功”是机械能守恒的条件. 但由于做功的过程最终实现能量的转化，所以在实际应用时可从能量转化的角度去理解，即只有物体的动能、系统的重力势能和弹簧的弹性势能之间发生相互转化，则系统机械能总量保持不变.