绳端问题的综合应用

顾晓伟

■ 1. 问题的提出

如图1所示，一人站在高处用一根轻绳通过定滑轮牵拉一置于水平地面上的物体，地面离人高度为h=20 m，人以v1=■ m/s的速度匀速收绳子，当物体运动至离滑轮水平距离为L=20■ m时，物体的速度为多少？

■ 解析物体向左的运动是实际运动，即为物体运动的合运动，沿绳和垂直于绳的运动为两个效果运动，即为两个分运动.

将物体的实际运动沿绳和垂直绳方向分解，如图2所示. 沿绳方向的速度为v1、垂直于绳方向的速度为v2，且v=v1/cosα，根据几何知识可知cosα=■，代入可得物体的运动速度v=2 m/s

■ 2. 物理模型的构建

上题是运动的合成和分解中常见的题目，也是一种典型的题型，学生在求解此问题时很容易出现分运动和合运动的混淆. 而且此问题也可以和其他物理知识结合，编制成力学综合题，是各类试卷中经常出现的热门考点. 本文就此问题的求解方法作简单分析，希望能给同学们归纳出分析思路.

本问题可以构建成如下的物理模型：物体的实际运动可以分解成沿绳方向和垂直于绳方向的两个分运动，如图2所示. 假设牵拉物体的细绳与水平方向的夹角不变，则在物体运动过程中细绳将变短，即物体沿绳的缩短方向做直线运动；假设牵拉物体的细绳的长度不变，则在物体运动过程中细绳与水平方向的夹角变化，即物体以定滑轮为圆心做圆周运动. 而实际上，物体既参与沿绳的直线运动，又参与垂直于绳方向上的圆周运动，即物体的运动是由上述两个分运动合成的合运动，这两个分运动的物理模型分别是沿半径方向的直线运动和垂直半径方向的圆周运动.

由以上分析可知：两个物理模型合成一个实际运动，而此实际运动又是一个新的物理模型，即绳系模型. 由于从物体的运动形式上看，物体所做的运动相当于将一个圆展开（或者收缩），呈螺旋状运动轨迹. 所以，此模型也可以称为“拓展圆运动”模型.

■ 3. 绳系模型的应用

■ 3.1与几何光学结合

■ 例1如图3所示，一束光线垂直水面由A点从空气射入水中，最后射到水下的平面镜的O点上，A点到O点的距离为d，现在使平面镜以过O点且平行于平面镜的直线为轴逆时针匀速转动，发现水面上出现一个向左运动的光斑P. 若平面镜转动的角速度为ω0，求：光斑P到A点的距离为d时，光斑P的速度.

■ 分析本题通过分析可以看出：光斑P沿水平面运动，即为光斑的实际运动，由于它的存在产生两个效果. 其一，假设反射线不转动，则反射线的长度不断增加，即相当于P在沿着反射线方向做直线运动；假设反射线长度不变，则反射线逆时针转动. 显然，P点所做的运动为“拓展圆运动”.

■ 解析将光斑P的运动沿反射光线和垂直反射光线分解如图3所示，则：

v=■①

而AP=OA=d，所以有：α=45°，反射线的长度为■d. 依据v=ωR解得：

v′=2ω0·■d②

联立①②解得：v=4dω0 .

■ 3.2与机械能守恒定律结合

■ 例2如图4所示，两个光滑杆ab、cd相交于O点，其中ab水平固定，cd竖直固定，两个带有小孔质量为ml、m2的小球分别套在cd、ab杆上，且用一根不能伸缩、长度为L的轻绳连接在一起，现在将两个小球在同一高度从相距L释放，求两小球与O点等距离时的速度大小.

■ 解析依据题意可知，两个小球所做的运动都是“拓展圆运动”，且沿绳的分速度相等.

两小球与O点等距离时它们与杆的夹角都为45°. 则对m1有v′=v1cos45°①

对m2有v′=v2cos45°②

联立①②解得v1=v2

对系统利用机械能守恒得

■m1gL=■m1v21+■m2v22

可以解得v1=v2=■.

■ 3.3与动能定理结合

■ 例3如图5所示的装置中，轻绳将A、B相连，B置于光滑水平面上，拉力F使物体B以5 m/s速度匀速地由P运动到Q. P、Q处绳子与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=53°. 滑轮离光滑水平面高度h=2 m，已知mA=6 kg，mB=20 kg，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F做的功（sin37°=0.6，g=10 m/s2）.

■ 分析物体B的运动是实际运动，因为B的运动，而使连接B物体的绳子既伸长又绕O点转动，所以B物体在做“拓展圆运动”. 对B物体分析可知，物体B匀速运动，动能不变，拉力F做的正功等于绳子拉力对物体B做的负功，也等于绳子拉力对物体A做的功，通过对物体A分析，利用动能定理即可计算拉力做的功.

■ 解析对物体B分别在P、Q点分析，得到在P点时沿绳子方向的分速度v1为：v1=vsinα1=3 m/s，在Q点时沿绳子方向的分速度v2为：v2=vsinα2=4 m/s.

利用几何知识可得：物体A上升的距离为Δh=■-■=■ m

对物体A分析，利用动能定理可得：

WF-mgΔh=■mv22-■mv21

解得：WF=71 J

■ 3.4与运动学知识结合

■ 例4如图6（a）所示，物体A、B的质量均为m，且分别用轻绳连接跨过定滑轮（不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）. 用水平变力拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，下列说法正确的是（）

A. 物体A也做匀速直线运动

B. 绳子拉力始终大于物体A所受的重力

C. 物体A的速度小于物体B的速度

D. 地面对物体B的支持力逐渐增大

■ 解析设物体B的速度为v，物体B的运动可以分解为两个分运动：沿绳方向向右下方的分运动和垂直绳指向绳子摆动方向的分运动. 物体A的速度等于沿绳方向的分速度v1，如图6（b）. 根据矢量合成法则可得：v1=vcosθ，由于v不变，在物体B向右运动时，θ减小，故v1增大，物体A处于超重状态，再由牛顿第二定律可知绳的拉力F=mg+ma，所以F大于mg；对物体B分析容易得出地面对B的支持力的变化情况. 综合上面分析，最后可以知道本题的正确答案为BCD.