一类临界问题的分析

韩平

在机械能与圆周运动的综合问题中，常常会遇到有关临界条件的判断. 求解此类问题，在正确应用机械能守恒定律的同时，要注意物体做圆周运动约束特征的分析. 例如，当物体在竖直平面内做圆周运动时，若为轻绳约束，物体能通过最高点的临界速度为■；若为轻杆约束，物体能通过最高点的临界速度则趋近于零. 有时，还需考虑外力提供向心力的约束条件，如绳子所能承受的最大张力等.

■ 例1如图1所示，长为l的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转轴O，杆可在竖直平面内绕轴O自由转动. 若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度■，不计空气阻力，则以下判断正确的是（）

A. 小球不能到达最高点

B. 小球能到达最高点，且在Q点的速度小于■

C. 小球能到达最高点，且在Q点受到轻杆向上的彈力

D. 小球能到达最高点，且在Q点受到轻杆向下的彈力

■ 解析对于轻杆约束，物体在竖直平面内做圆周运动能通过最高点的临界速度趋近于零. 假设小球能到达最高点Q点，根据机械能守恒定律，■mv2P=mg·2l+■mv2Q，而vP=■，可得小球在Q点的速度为vQ=■＜■. 小球在Q点所需向心力F=m■=■mg＜mg，故小球在Q点受到轻杆向上的彈力. 本题正确选项为BC.

本题若混淆了轻杆与轻绳的约束条件，则会误选A.

■ 例2一根内壁光滑的细圆钢管，形状如图2所示，处于竖直平面内. 一粒小钢球被彈簧枪从与钢管圆心O处于同一水平面上的A处正对管口射入，射击时无机械能损失. 第一种情况使小钢球恰能到达最高点C处；第二种情况使小钢球经最高点C处后平抛，恰好又落回到A处. 这两种情况下彈簧枪的彈性势能之比为多少？

■ 解析小钢球在竖直细圆钢管内的圆周运动，属于双面约束，类似轻杆约束. 在第一种情况下，小钢球恰能到达最高点C处，说明到C处的速度为零. 在第二种情况下，小钢球从C处开始做平抛运动，又恰好落回A处，说明平抛运动的水平位移与竖直位移大小相等，且x=y=R. 选小钢球、地球为一系统，因只有重力做功，故两种情况下系统的机械能均守恒. 取钢管圆心O所处的水平面为重力势能的参考平面，由机械能守恒定律可得

第一种情况Ep1=mgR，

第二种情况Ep2=mgR+■mv2，

又R=vt=■gt2，

联立以上两式解得Ep2=■mgR，

故彈簧枪的彈性势能之比为■=■.

■ 例3如图3所示，质量为m的小球由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=■l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围（不计线与钉子碰撞时的能量损失）.

■ 解析设在D点时绳刚好承受最大拉力，DE=x，则AD=■.

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为r=l-AD=l-■.

当小球落到D点正下方时，绳受的拉力为F，此时小球的速度为v，由牛顿第二定律有

F-mg=m■，

因F=9mg，故有m■=8mg，

由机械能守恒定律得mg■+r=■mv2，

即v2=2g■+r，

由以上三式联立解得x=■l.

设在D′点，小球刚能绕钉子做圆周运动到达圆周的最高点，ED′=x′，则

ED′=■，

故r′=l-AD′=l-■，

在最高点mg=m■，

由机械能守恒定律得mg■-r′=■mv′2，

由以上三式联立解得x′=■l.

可见，在水平线EF上钉子的位置范围是x′≤DE≤x，即■l≤DE≤■l.