关于数学建模课程的一些思考

杨宏林， 李医民， 王学弟

（江苏大学理学院，江苏镇江 212013）

关于数学建模课程的一些思考

杨宏林， 李医民， 王学弟

（江苏大学理学院，江苏镇江 212013）

数学建模课程的教学目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力.根据多年的教学实践经验，本文探讨如何在教学过程中注重数学思想方法的传授和能力的培养.对目前教学过程中存在的一些问题进行了剖析.介绍了我们在课程的课外延拓方面所做的一些工作.

数学建模；课堂教学；课外延拓

1 引 言

从1992年开始由教育部高教司和中国工业与应用数学学会（CSIAM）举办我国自己的全国大学生数学建模竞赛以来，这一赛事得到了国内高校的普遍重视和大力支持，参赛高校和学生人数逐年持续递增.2009年全国有33个省／市／自治区（包括香港和澳门特区）1137所院校、15046个队（其中甲组12276队、乙组2770队）、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的（其中西藏和澳门是首次参赛）.应该说，数学建模竞赛在培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新能力、创新思维等各方面的所起的重要作用已经得到了普遍的认可和关注.同时，在数学建模竞赛的进程中，数学建模课程应运而生.近年来，国内许多高校陆续开设了数学建模课程.数学建模课程作为一门年轻的课程，不少的数学建模指导老师对该课程的课程体系、教学内容、教学模式、教学方法等方方面面进行了有益的探索和实践［1－8］，对该课程的建设和发展起到了巨大的促进作用.作为数学建模课程的主讲老师和数学建模指导小组的成员，笔者想结合自己的教学实践谈谈对数学建模课程的理解和体会.

2数学建模的课堂教学

2.1 注重培养学生数学思维的习惯.

使学生学会并习惯用数学的方式来刻画或描述实际问题，是数学建模课程的主要任务之一.对一些简单的实际问题，学生在理解题目的要求上不存在任何障碍.比如桌子的摆放问题，要求建模证明在起伏不平的地面上，桌子是可以摆放平稳的.这是生活中常见的问题，大多数人都有实践这一问题的经历.但上升到理论高度，要求用数学证明这一结论.学生会感到无从下手.这就需要教师耐心地引导学生.首先提出问题一，如何用数学语言刻画“桌子摆放平稳”这一状态，学生会说“桌子四条腿同时着地”.再进一步深入，问“桌子四条腿同时着地”意味着什么？这个时候，学生一般都会积极思考，同时也七嘴八舌地说出自己的理解.此时，一定要注意让学生充分发挥主动学习的精神，留有足够的时间给学生自己思考.但根据笔者的经验，对刚刚接触数学建模的学生来说，很少有人能想到用桌子腿到地面的距离来刻画这一问题.教师应一步一步深入，通过各种直观、形象的启示，慢慢地自然地把学生的思维引导到“用桌腿到地面的距离为零来刻画桌子摆放平稳”.当这一答案给出的时候，笔者注意观察过学生的反应，很多学生此时会有一种恍然大悟的感觉.搞清楚这一问题之后，紧接着提出第二个问题，如何用数学语言刻画“使桌子摆放平稳”这一过程.问题二与问题一虽一字之差，但含义却完全不同.问题一是一个状态，是静态的；而问题二问的是通过什么手段使桌子从不平稳状态到平稳状态，是一个过程，是动态的.对于问题二，结合生活经验及学生在生活中对这一问题的直观认识，启发学生用旋转的方式来使桌子摆放平稳.既然要旋转（移动），就必须要定位，从而自然地引入平面直角坐标系对方桌进行定位，并用桌子四脚连线所构成的正方形的对角线与x轴的夹角的变化来确定旋转量.在搞清楚上述两个问题之后，接下来关于“桌子摆放”问题数学模型的建立就是自然而然、水到渠成了.如果教师在教学过程中能自始自终坚持不懈地进行这一方面的努力，那么久而久之，学生就会形成用数学思考的习惯.这对提高学生的数学素养和素质是不言而喻的.

对模型结果进行合理的解释也是建模的一个重要方面.因为建模的目的是为了解决问题，所以，在构建了实际问题的数学模型并用相关算法求解之后，把数学结果还原到实际问题中去，才算真正解决了问题.换句话说，我们要把模型的数学结果翻译成常人（不具备高深数学知识的人）看得懂的语言表述.比如在“彩票中的数学”这一问题中，对彩票方案的评价用到概率、评价函数、彩民的心理曲线等各方面的知识，通过考虑中奖率，中奖面，高项奖奖金额、比例分配等多种因素，兼顾彩民和彩票发行机构的利益，提出更为科学合理的彩票玩法.但众多彩民中同时具备这些知识的有几人？所以，应该把数学结果“翻译”成大众化语言，否则，模型的应用价值就会大打折扣.这就是叶其孝教授所说的数学建模中的“双向翻译”（即用数学语言表达实际问题，用普通人能理解的语言表达数学的结果）的能力.

2.2 注重数学思想方法的提炼和学生能力的培养.

数学建模课多采用案例教学的方法［6］和讨论课.这里，笔者想强调一点，教学过程中采用的案例或问题，通常都有其相对成功的数学模型或解决方法.因此，我们教学的目的并不是为了解决问题而解决问题.更为重要的是想通过对案例的分析和建模过程的理解，让学生去领悟或者体会建模过程中所用到的更为一般数学方法或重要的数学思想.而这些方法或思想恰恰就是学生以后解决实际问题时所需要的.

在数学建模的教学过程中，教学的重点不在于讲解模型中或深奥或精巧的数学知识，而在于如何从实际问题中抽象概括出合理的数学模型.这是一个创造性的过程，学生的各种能力正是在这样的过程中得到锻炼和提高的.一般建立一个数学模型，要经过以下步骤：第一，在充分理解实际问题背景和要求的前提下，通过合理的假设对问题进行抽象和简化；第二，引入必须的参数和变量，实现对实际问题的数学刻画；第三，通过分析问题中各种因素的关系和作用机理，建立科学合理的数学模型；第四，对模型中涉及到的有关参数进行尽可能准确的估计；第五，对模型的合理性进行检验，并根据检验结果对模型做进一步改进和修正.当然，一个成功的数学模型，总是经过多次重复上述步骤，即经过多次的修正而逐步完善的.而且，随着社会的发展，环境的变化，有些即使已经非常优秀的模型也要随之而变化，这实际上要求学生对模型的适用范围有一个明确的界定.

2.3 留有余地，给学生提供发挥想象力和创造性的空间.

在数学建模课程的教学过程中，一定要注意给学生留有思考的余地，给学生提供发挥想象力和创造性的空间.一个成功的数学模型，总是建立在一定的假设基础之上.假设越合理，越贴近实际问题，所建模型就越能反映实际问题.但假设的强弱给数学处理上带来的难易程度有非常大的影响.所以，合理的假设是数学建模的关键，数学建模中的创造性也主要体现在模型假设中.通常情况下，一开始会做比较强的假设（但不能改变问题的性质或本质，否则后面的一切工作都没有意义了），尽量使问题易于处理，先得到一个初步的基本的模型.然后通过放宽假设，一步步对模型进行改进.因此，在课堂上精讲细讲基本模型之后，在指出对模型的进一步改进的方向之后，模型的改进工作（或者一部分改进工作）可以留给学生作为课后练习，并在下次课进行讨论.比如说，在桌子摆放问题中，一开始假设“桌子四脚连线呈正方形”，给学生留下的问题是“若桌子四脚连线呈长方形”，模型会有什么变化？学生在经过认真思考之后一般都能给出正确的处理.在自己解决问题的过程中，学生分析问题、解决问题的能力在不知不觉中自然而然地得到了提高和锻炼.对于学生富有创造性的一些想法，应及时给予肯定和鼓励，使学生具有成就感，同时对数学建模有更浓厚的学习兴趣.

2.4 数学建模课程教学中存在的问题.

数学建模课程涉及的数学知识及其他专业的知识非常广泛，不可能让学生学会所有的数学知识和数学手段再来做数学建模的工作.还有一些问题本身具有较强的专业背景，不熟悉问题的背景就会感觉无从下手.不仅学生，即使是教师也不可能熟悉所有的专业背景.而数学建模课程的任课老师，通常都是由数学系的教师担任，缺少工程背景和基础.这就使得数学建模课程的教学与其它课程相比，因为难度大而往往需要教师投入更多的时间和精力，但该课程教学工作量的计算却与其他课程一样.这种情形，使得长期从事数学建模课程教学的教师慢慢地丧失积极性和主动性，并极力摆脱这门课程教学所带来的沉重负担.这种在高校中普遍存在的关于师资队伍积极性不高的现象恰恰与数学建模课程教学体系深受大学生欢迎形成了强烈的反差.因此，数学建模课程教学师资队伍的建设及稳定是摆在高校面前的一个不容忽视的严重问题［7］.尽管有些高校已经采取了各种措施来改变这一局面，但大多数体现在对数学建模竞赛中获奖的指导老师或学生的奖励方面.总的来说，在数学建模课程教学工作量的计算方面始终没有体现，特别是对学生进行数学建模竞赛的培训基本上被看作是一种业余的工作.这也在一定程度上挫伤了教师的积极性.尽管如此，作为一名高校教师，我们还是呼吁能有更多的、具有不同专业背景的老师加入到数学建模的教学与培训过程中来，希望专业课教师结合自身专业方向中基本的数学模型和处理方法，给学生进行基本的专业背景知识的培训，拓宽学生的视野和知识广度.无庸置疑，这对学生将是非常有益的.当然，要实现这一想法，除了学校给予一定的优惠政策之外，教师本身也应该发扬奉献精神，本着“一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切”的教育理念，以学生为本，积极地投身到数学建模的教学活动中来.

3 数学建模课程的课外延拓

目前，数学建模已经成为一项长期的、日常性的工作.仅靠有限的数学建模课程的教学和相对集中的数学建模竞赛的培训，难以满足学生的需要，也难以实现培养创新型人才的目标.因此，在课堂之外，以各种形式对学生数学建模能力提高.不少高校都有自己的高招.我们也作了一些尝试.

首先，在学生中成立数学建模协会，由学生自己负责并开展工作.协会负责数学建模的宣传和培训组织工作.以各种形式在广大学生中宣传数学建模.比如，请建模指导老师对学生介绍建模的过程及意义；请参加过竞赛的同学结合自己的建模经历，谈谈自己对建模的认识和体会.使更多的学生加入到数学建模的队伍中来，扩大这一活动的受益面和影响力.经过各方面努力，近几年，我校参加数学建模选修课学习的同学很多，但由于各方面条件的限制，最后参加竞赛的同学毕竟还是少数.所以，我认为能参加竞赛本身就是很大的成功，竞赛成绩本身并不重要，学生在整个数学建模活动过程中的收获才是最重要的，这也符合竞赛的宗旨.让更多的学生在数学建模选修课的学习中受益，提高他们各方面的能力，是数学建模课程更为重要的任务.

其次，由喜欢建模并有一定建模能力的学生自愿组成相对固定的数学建模课外兴趣小组，利用课余时间积极进行自我学习和提高.指导教师通过联系学校团委、学工处等有关部门，了解这些部门在工作中遇到的一些需要解决的实际问题，经过部门领导和建模指导教师协商提炼，形成一些数学建模问题.以课题的形式对学生进行发放，并给予一定资助，要求一个小组对所研究的问题建立数学模型，并给出解决该问题的具体措施和方法.这不仅对学生是一次锻炼和提高的机会，同时在一定程度上也能解决工作中的实际问题，可谓一举两得.而且，当学生的建议或方案得到采纳之后，对学生也是一种莫大的鼓励.

另外，在本科生进行毕业论文选题时，指导教师设计一些数学建模的问题（如果问题是来源于实际生产中的则更好），交给学生进行自主选择.实践表明，有建模经历的同学会选择自己感兴趣的问题作为自己的毕业论文选题.并能在老师指导下，通过自己搜集资料、熟悉背景、分析问题并建立相应的数学模型.

我校多年的实践证明，这些课堂之外的扩展和延拓是对数学建模课程很好的补充，取得了很好的效果.

［1］王茂芝，郭科，徐文皙，周游.数学建模中的创新意识培养［J］.大学数学，2009，25（1）：126－129.

［2］薛长虹，于凯.数学建模课程教学方式探讨［J］.大学数学，2007，23（4）：141－143.

［3］孙琳.浅析数学建模［J］.大学数学，2007，23（5）：129－133.

［4］王茂芝，徐文皙，郭科.数学建模培训课程体系设计探讨［J］.数学教育学报，2005，14（1）：79－81.

［5］乐励华，戴立辉，刘龙章.数学建模教学模式的研究与实践［J］，工科数学，2002，18（6）：9－127.

［6］朱建青，归庆明.数学建模课的案例教学法［J］.工科数学，2000，16（1）：82－85.

［7］化存才.《数学建模》课程教学体系的现状及其发展方向［J］.云南师范大学学报，2006，26（1）：61－66.

［8］黄江华.“数学模型”课程教学模式的探讨［J］.数学理论与应用，2005，25（4）：125－127.

［9］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.

Some Thoughts on Mathematical Modeling Course

YANGHong－lin，LIYi－min，WANGXue－di
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

The goal of Mathematical Modeling course teaching is to train students to apply mathematics to solve practical problems.Based on our teaching experience，this paper to explore how to emphasize training mathematic thoughtway and ability in the teaching process.The problems in current teaching process were analyzed，and some concrete practices in the course of extra－curricular extension made by us are introduced.

mathematical modeling；classroom instruction；extra－curricular extension

G642.0

B

1672－1454（2012）04－0113－04

2009－11－26

江苏大学教学研究项目（2011JGZD015，2011JGYB027）