恒化器中一类具有非常数消耗率微生物培养模型的定性分析

凌志超， 张天四

（上海理工大学理学院，上海 200093）

恒化器是一种用来连续培养微生物的实验室仪器，其营养物的输入和流出近似地模拟了自然界的连续代谢过程，主要用于模拟湖泊和海洋中单细胞藻类浮游生物的生长，在废水处理或者基因产品生产等领域具有重要应用，很多学者对此进行了大量的研究［1－7］.如文献［5］讨论了微生物连续培养三维竞争模型系统解的稳定性.文献［6］对消耗率参数为一次函数的单食物链模型进行了定性研究.而文献［7］则研究了具有正比增长率且消耗率参数分别为一次函数和二次函数时的二维微生物培养模型系统的极限环和Hopf分支存在性.

本文主要考虑三维单食物链种群竞争模型，假设被捕食种群对营养基和捕食种群对被捕食种群具有形为δ（s）＝A＋Bs＋Cs2的二次函数消耗率参数，并通过定性分析证明系统平衡点的存在性和稳定性，以及系统正向不变集的存在性.

1 变消耗率模型及定性分析

考查恒化器中只有两种微生物，即捕食和被捕食种群的三维单食物链模型

式中，s（t），x（t），y（t）分别表示t时刻恒化器中营养基、被捕食种群和捕食种群的质量分数；s0为输入营养基的质量分数；D为输入输出率；δ－11（s），δ－12（s）分别为被捕食种群x对营养基s的消耗率和捕食种群y对被捕食种群x的消耗率，δ－11（s）＝分别为被捕食种群x和捕食种群y的生长函数，ki为系数，均为正常数，i＝1，2.

s（t）不会比初始流入的质量分数s0更大，从而0＜s≤1.

证明 由系统（2）的第2和第3个方程知，若mi≤1（i＝1，2），则若mi＞1且λi≥1时（i＝1，2），也有所以，当t→∞时，x（t）→0，y（t）→0.

命题说明，当微生物种群x，y本身的参数，即最大增长率mi≤1较小时或mi＞1较大但半饱和常数ki≥（mi－1）也较大时，微生物种群都不能存活，就失去了研究的价值，因此，在下面的讨论中，均假设mi＞1，λi＜1，i＝1，2.

考虑系统（2）的平衡解，其必满足方程组

解方程组得平衡点E0（1，0，0），E1（λ1，（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21），0），Ec（sc，xc，yc）.其中，xc＝λ2＞0，sc，yc满足方程

记

定理1 系统（2）存在E0（1，0，0），E1（λ1，（1－ λ1）（A＋Bλ1＋λ12），0），Ec（sc，xc，yc）这3个有限远的平衡点，其中，E0为鞍点，不稳定.

当（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＞λ2或（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＜λ2，且

时，E1为不稳定平衡点.

当（1－λ1）（A＋Bλ1＋λ21）＜λ2，且

时，E1为稳定平衡点.

证明 系统（2）在E0处的线性化矩阵为

对应的特征方程的特征根为γ1，2＝－1＜0，由于上面假设λi＜1，i＝1，2.可推知

所以，E0为鞍点，不稳定.

在E1处，特征方程为

特征根

当

时，b＞0，所以，r2，r3均有负实部或均为负实根，从而E1是稳定的.

而当

时，b＜0，此时，r2，r3均有正实部或均为正实根，从而E1为不稳定的平衡点.

在Ec处，其对应的特征方程为r3＋a1r2＋a2r＋a3＝0，其中

定理2 系统（2）存在正向不变集

其中，0＜N＜∞，θ0∈R＋.

证明 系统（2）存在解平面x＝0，y＝0，考察平面s＝0，由于所以，系统（2）轨线当t增加时是由区域Ω1＝｛（s，x，y）｜s＜0，x＞0，y＞0｝穿过平面s＝0而进入区域Ω，即从任意（s，x，y）出发的轨线，当t→∞时穿过平面s＝0而进入Ω.再考虑平面

因为x，y有界，A，B，C，R，P，Q，mi，ki均为常数，i＝1，2.所以，对充分大的N，有则系统（2）的轨线穿过平面F＝0时，是由外向内进入区域Ω的，即任意从（s，x，y）出发的轨线，当t→∞时，不会穿过F＝0跑出区域Ω.

综上所述，Ω为系统（2）的不变区域.

2 结束语

研究了一类变消耗率食物链模型，分析了其平衡点的类型，证明了各个平衡点的稳定性，并证明出系统存在正向不变集，由此可见，对于此类模型，当参数满足一定条件时，同时培养两种微生物且使微生物种群共存这一目的是可以实现的.

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