几点线性代数教学改革的思考

李靖建 韩 霞

（广西大学数学与信息科学学院 广西 南宁 530004）

《线性代数》是高等学校理工科和经管类学科的最基础的学科。它不但在微分方程、概率论、统计学、物理学中有着广泛的应用，也是经济学、农学、机电学以及工程管理学等专业的基础学科之一。随着电子技术的飞速发展，许多实际问题都可以转换成可以计算出来的线性化问题，而解决这一类问题的最有力的工具就是《线性代数》。另一方面，《线性代数》还是训练、提高学生抽象思维能力与逻辑推理能力的重要学科。于是，在高等院校，对于《线性代数》的学习和教学就特别引人注目。传统的观点认为《线性代数》的内容主要是一个中心∶求解线性方程组；三个工具：行列式、矩阵和线性空间。于是老师的教和学生的学都围绕着这个分类来进行。表面上是有利于教学，可是这样的分类无形当中割裂了《线性代数》特有的连贯性，阻碍了对《线性代数》本质内容的理解。最终的结果就是学习的过程中会产生种种疑问，为什么就是这样的？老师也只是机械的给学生们灌输抽象的概念和古怪的定理。这样，教学变得机械、呆板，学习变成了枯燥无味的接受和训练，甚至是背书，就更谈不上灵活运用所学的知识。我们应该转变一下我们的思路，从《线性代数》的本质出发，把教学的核心从线性方程组转变为矩阵。这主要是因为如下的几点理由。

1 教学的内容更系统、完整

《线性代数》的内容可以用矩阵来系统起来。可以首先学习矩阵的定义和性质。从定义上来看，矩阵只是一个数表，没有其他的任何附加的条件，所以学生们容易理解和接受。特别是，以这样开始的线性代数可以勾起学生们的好奇心“一个数表会有什么玄机和应用呢”？另一方面，数表是学生们特别是工科的学生们经常见到的，这样就会引起学生们极大的学习兴趣。对矩阵基本知识的学习，可以使同学们对矩阵有了一个初步的认识，那一个自然的问题就会出现的同学们的面前：矩阵有什么用处呢？下面接着介绍行列式的知识。讲行列式时一定要强调行列式是防震的行列式，也就是对一个行数和列数相等的数表按照一定的规则可以定义一个实值单值函数。也就是按照既定的对应法则，每一个这样的方阵都唯一对应一个实数，这样的一个函数在一定的意义下也可以称之为运算。那当然，我们首先要学习这个函数的对应法则也就是行列式的定义和计算。学习完这些问题后，一个自然的问题就是它的应用。行列式的应用很多，其中最常见的应用就是可以用来求解一些线性方程组——克莱默法则。讲解克莱默法则的时候，需要重点强调其适应的条件，要让学生们深刻的理解它的优、缺点。在学习应用行列式来解方程组的时候，同学们肯定会和原来解线性方程组的方法（消元法）做一个对比，看哪个更简单一些。讲解这一部分时，可以对这个问题做一个简单的说明，克莱默法则就是在我们原来消元法的基础上给出来的，它的思路简单可是计算起来并不见得轻松多少，而且能解决的问题只是一部分。那有没有更好的方法去解决这个问题呢？答案是肯定的。注意到，行列式只是矩阵的一个性质，我们可以用矩阵的其他方面的性质彻底的解决这样一个问题。这样自然的来介绍矩阵的初等变换。作为这一部分的应用举例，讲解用矩阵的初等变换来解线性方程组的解的问题。

通过对上面知识的学习，同学们应该对矩阵有了一个较为深刻的理解和认识。下面呢，可以对矩阵作进一步的剖析。把矩阵分解开来，把它的每一行或列拿出来研究，它们称为矩阵的行或列向量。这就是说，一个矩阵可以看成是由向量构成的，要想更深入的学习矩阵，就得先学习向量的知识。于是介绍向量的基本概念和性质。注意，讲这部分知识时一定要结合矩阵来讲，也就是要从矩阵的角度去讲解向量，这样做有下面的一些好处：1）可以让学生们更好的理解向量和矩阵的关系。以往都是单纯的讲解向量，同学们不好理解，特别是不知道为什么是这样的，为什么要学习这些看似没有用的、怪怪的定义和定理！都后来矩阵又出来了，同学们不好理解这些之间到底是一个什么关系？如果可以从矩阵的角度去讲的话，学生们就会明白，向量矩阵的一部分，矩阵是由向量构成的，它们之间有着非常紧密的联系！2）可以让学生对向量的理解找到归宿和出处。以往都是单纯的讲解向量，给出定义之后，紧接着就给出线性组合、相关性以及向量秩这些古怪、抽象的概念。结果是学生们听得一头雾水，自信心备受打击，学习的热情消失殆尽。老师们讲起来也只剩下照本宣科的介绍概念，非常枯燥，最后只有用“抽象”二字来搪塞了。如果从矩阵的角度来讲得话，学生们知道，学习矩阵就是学习剖解开来的矩阵，是从细小的地方来学习矩阵。而且这个时候会非常自然的给出矩阵的秩的概念。学习了向量的概念，向量空间的定义就随之出来了。接下来可以介绍线性空间的基本知识。作为矩阵之间的基本关系，可以给出矩阵相似的概念。然后作为矩阵的一个重要的应用，讲解二次型的知识。

这样，通过矩阵，可以把《线性代数》的内容完全系统起来，而且好比较好理解和教学。通过作者多年的教学实践来看，这样的教学效果非常好，得到了广大学生和同事们的认可。

2 有利于更好的理解矩阵的本质

从矩阵的定义看，矩阵就是一个数表，而许多的实际问题，都可以抽象成一个数表。这样，矩阵的运算和变换就反映了原来问题的变化。例如用矩阵解线性方程组的解的问题，对系数矩阵或者增广矩阵施行行初等变换实际上就反映了方程组中相应方程之间的变化。特别是在线性空间中，线性变换可以用矩阵表示，即矩阵实际上就表示了线性空间里的向量的运动。这样，线性空间就不止是向量的集合，实际上变成了动态的了，也就是说，线性空间是运动着的向量的集合。这就是所谓的“空间为体，矩阵为用”的道理。

3 矩阵是线性代数实际应用的桥梁

前面我提到，许多实际问题都可以转化为可计算线性化问题来解决，而这当中，矩阵在许多场合充当着桥梁的作用。例如(参考文献[1])：某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中aij为工厂向第i店发送第j种产品的数量。下面我们从线性代数的实际应用和在其他学科中的应用为例来说明这个问题。

3.1 实际应用

在组合图论的研究中，对于一个图，它的好多性质可以通过计算得到。在这个过程中，我们一般根据图顶点的邻接关系定义一个邻接矩阵，这样，图和邻接矩阵一一对应，即任何一个图都对应一个邻接矩阵，反之，任何一个矩阵都可以定义一个图。有了邻接矩阵，我们就可以据此研究一些图的性质，例如图的同构，以及对称性等（更多的知识读者可以参考文献[2]）。对于一些有限点数的图，我们可以利用一些计算机软件来计算许多图的性质，例如图的自同构群，点稳定子等等。常用的这方面的计算机软件有 Matlap,GAP,Maxmal, Nauty等等。

3.2 线性代数在其他学科中的应用

我们都知道《线性代数》与《微积分》的关系密切，它们之间好多地方可以相互渗透包括方法和内容（参考文献[3]）。而在在数学或者工程技术中，经常要研究一阶常系数微分方程组的问题。下面我们引用文献[4]中的一个例子来说明我们的问题。

例 求解微分方程组初值问题

则微分方程组可以写成如下矩阵的形式：

总结，《线性代数》历来以抽象著称，是理工科学生非常头疼的科目。矩阵是《线性代数》的重要内容，如果教学过程中能从矩阵出发，以矩阵来系统整个教学内容，一方面，可以让学生们跳出原来的抽象的模式，让同学们有的放矢的去学习，而且边学边用，在学习知识的同时也锻炼提高了发现问题、解决问题的能力，从而能够激起学生们的学习热情，达到教学改革的目的。另一方面，可以还原矩阵的本来面目，有助于更深入的理解矩阵以及它的应用。

［1］徐明曜.有限群导引：上、下[M].科学出版社，1999.

［2］同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

［3］米永生.线性代数与微积分学问题与解法的渗透[J].大学数学，2007(2)23.

［4］徐仲，等.矩阵论简明教程[M].2版.科学出版社，2005.