基于分数阶超混沌系统的图像加密算法及安全性分析

朱 伟，段文强，杨 阳，沈建鑫

(重庆邮电大学系统理论及其应用研究中心，重庆 400065)

0 引言

自20世纪90年代以来，混沌现象的研究与应用一直是非线性学科研究的热点［1－2］。混沌系统以其对系统参数、初值的高度敏感性，对产生序列的伪随机性等特点，越来越突出地表现在保密通信领域中。

近年来，高维的超混沌系统在图像加密领域得到了广泛的关注［3－7］。Gao 等［4］提出的基于超混沌的图像加密算法，该算法利用Logistic混沌映射［3］与超混沌系统置乱并置换像素，该方法具有更好的伪随机及算法简单的特性。但随后Belghith等［5］指出了此方法对选择明文攻击的软弱性以及改进建议。此建议使得人们对混沌系统的加密方法有了新的认识，即在提高系统动力学行为复杂性的同时也要保证加密系统与图像或特定随机物质相关联。最近，一些学者根据上述思想提出了对Gao模型的改进算法，如 Wang等［6］提出的高维混沌图像加密(hyperchaotic image encryption，HIE)改进算法。然而，我们通过对Wang算法的深入分析发现:Wang的方法虽然在置乱过程中关联了明文字节，但通过理论分析表明其算法仍与Gao的方法具有同样的缺陷，即依然无法抵抗选择性明文攻击，导致密文能够很容易地被破解。

针对HIE算法［6］的漏洞，本文提出一种基于分数阶超混沌系统的图像加密改进算法。混沌系统的Lyapunoy指数是表明分数阶混沌系统能产生较整数超混沌系统更为复杂的动力学行为，具有更强的伪随机性和不可预测性，可以避免非线性预测等攻击方法。同时本文算法利用各像素之间的关系并参入初值，代入混沌系统进行迭代，做到明文与系统相关联。较以往单纯改进关联性算法［6－7］具有更复杂的密码学特性。由于混沌系统对初值的敏感性，该方法保证对不同明文具有不同的加密序列。理论和实验表明，该改进算法可以有效抵御选择明文攻击和选择密文攻击，且统计及差分特性理想。

1 HIE算法分析

1.1 算法简述

根据 Gao 等［4］提出的算法模型，Wang 等［6］进行了2点改进。

1 )为了降低低维混沌系统易被破解的风险，将其原有模型中用于置乱行列的Logistic混沌系统换成高维的超混沌系统;

2 )为了抵御选择明文攻击及选择密文攻击，改进其原有模型中的置换像素值算法。

上述HIE算法的的具体步骤见文献［6］。然而理论分析表明改进后的HIE算法仍然不能抵御选择明文攻击，具体分析如下。

1.2 选择明文攻击

对应HIE算法的已知明文攻击大致分为以下4个步骤。

步骤1 取特殊明文P0，输入到上述超混沌加密系统中得到密文C0，为了便于分析，我们设定以下数据都为3×3矩阵。

步骤3 对于任意密文Cx，经过步骤1我们已经破解了超混沌加密过程中的像素置换过程，恢复到仅经行列置换的密文。下面我们取特殊矩阵来破解行列置换，得到最终明文。

分析列置乱，取特殊明文l

根据此结果可对密文Cx通过矩阵列变换的反变换得到密文。

步骤4 分析行置乱，取特殊明文h

将特殊明文h输入加密系统中。同理，利用步骤1得到相应密文hh，假设得到的hh为

以上分析可知，在对于已知加密系统，有选择性的3组明文密文的攻击分析下，可以在不知道密钥的情况下可对任何密文进行破解。可见Wang等提出的改进算法依然存在缺陷，不能有效地避免选择明文攻击。

2 本文算法

根据上述分析，本文对原算法进行以下2点改进。

1 )为了使系统具有更复杂动力学行为，我们将原算法中的整数阶超混沌系统替换分数阶超混沌系统［8］

Lyapunov指数是衡量混沌系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。通过计算，该系统的4个 Lyapunov指数分别为 λL1=1.598 6;λL2=0.049 972;λL3= 0;λL4=－21.541 4。其中，最大Lyapunov指数大于零，即该系统的状态空间中存在一个超混沌吸引子。根据混沌理论，Lyapunov指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高，本文运用的分数阶超混沌系统的2个正Lyapunov指数分别为1.598 6，0.049 972，如表1 所示。

表1 Lyapunoy指数对比Tab.1 Contrast of Lyapunoy exponent

由表1可知本文运用的分数阶混沌系统的Lyapunov指数显然大于Wang等提出算法中运用的整阶混沌系统的Lyapunov指数。故从理论角度而言本文采用的分数阶超混沌系统要比以往文献中常采用的整数阶超级混沌系统具有更复杂的动力学特性。文献［8］直观地显示了超混沌系统(13)的复杂动力学行为。

2 )为了更进一步做到加密过程与特定明文相关联，保证每个图像像素对加密序列的扩散影响。我们改进原算法的加密步骤，计算相邻像素间的关系带入混沌系统中进行迭代，凭借混沌系统对初值的高度敏感性产生差异较大的且与特定明文相关的伪随机序列。具体算法步骤如下。

步骤1 为了提高图像加密系统的效率，我们将HIE算法法中的Chen氏超混沌系统复原为Logistic混沌映射，即像素置乱过程保持不变，根据密钥N0将Logistic混沌映射迭代N0次

直至产生 N 个值 li，i=1，2，3，…，N ，N 为图像像素高度。利用序列li对明文矩阵进行列置换。

步骤2 改进原方法的置乱算法。首先根据密钥N0将分数阶超混沌系统迭代N0次，为了使加密序列与明文相关联，我们将明文像素值关联初值带入到混沌系统中进行迭代。

对初值进行像素关联后带入混沌系统(13)进行迭代，得到新的加密序列。利用此随机序列计算

表2 超混沌序列组合公式Tab.2 Resultant formula of hyperchaotic sequence

步骤3 反复迭代步骤2直至遍历所有明文像素点，至此分数阶超混沌系统的明文加密结束。

3 实验和安全性分析

一个良好的图像加密算法应当具有较高的安全性，能够有效地抵抗各种形式的攻击，如穷举攻击、已知明文攻击、选择明文攻击等。本文从2个方面分析算法的安全性:①通过模拟实验，对密钥进行敏感性分析、空间分析，以及对明文进行敏感性分析;②对像素进行相关性和直方图分析来判断算法的扩散性与扰乱性。

实验采用Visual Studio 2008 Opencv平台与Matlab7.1平台，取像素深度为255的灰度图像作为明文(图1a)，密钥选择N0=2 000，λ =3.857 434 5，x=0.1，x0=1，y0=2，z0=3，w0=4。

3.1 密钥的敏感性分析

如图1所示，图1a为原始的图像，图1b行列置换过后的图像。图1c为最终加密后的密文，图1d为解密后的图像。为了测试新算法的密钥敏感性，将其中一个密钥进行微小的改动(10－16)，例如对x0进行改动，使原始密钥x0该为x0=1.0000 000 000 000 1，其他密钥不变，密文的解密结果如图1e所示。从本实验可以看出，当x0进行了微小的改动后，解密出的图像与原始明文图像完全不同。当其他密钥进行相应微小改变时，也得到相同的结论。可以看出本文方法能够抵抗各种敏感性攻击。

图1 图像加密过程及密钥敏感性分析Fig.1 Process of image encryption and sensitivity analysis

3.2 选择明文攻击安全性分析

对于本文算法，取1.1节中特殊明文P0进行选择明文攻击，在知道特殊明文P0各个像素值全为零的情况下，可以利用公式(17)

得到最终置换矩阵B，但由于本文改进算法在求取矩阵B时是利用公式(9)将每个明文像素值带入混沌系统进行迭代而产生的，故对于不同的明文，有不同的混沌序列。从而可以避免选择明文攻击和选择密文攻击。

3.3 像素相关性分析

在现实生活中，一般事物的细节常为连续的，在数字图像中表现为各像素点间的相关性较强。而图像加密要求克服图像细节的关联性，避免图像被复原。本文利用相关性分析来考察明文经过系统加密后的扩散程度，这里计算3种不同方向的相关性，即水平方向相关性、垂直方向相关性以及对角相邻相关性。设x，y分别表示相邻2个像素灰度值，相邻2个像素的相关系数rxy可用以(18)式进行计算

根据(18)式，随机选取图像1 000个像素，得到3个相关性系数，分别表示图像水平、垂直、对角3个方向如表3所示。结果表明，加密前明文中高度相关的相邻像素，在通过本文算法加密后密文中几乎没有相关性。由此表明明文图像的统计特征已被扩散到密文中，本文加密算法具有良好的扩散性。

表3 像素间相关性Tab.3 Correlation of pixels

Matlab仿真出的原始图像与加密图像在垂直方向上相邻像素点间的相关性结果分别如图2a－b所示。像素点坐标间隔取值为(1:10:255)，图2可直观显现出原始图像中各个像素点呈现的明显线性关系，而通过本文算法加密后的图像其各个像素点间相关性呈现为无明显规律的随机分布。

3.4 直方图分析

图3a－b分别为明文图像和密文图像的像素灰度直方图。由图3可知，与明文图像的直方图分布不均相比，密文图像灰度直方图分布均匀。加密算法将原图像的像素不均匀分布转换为均匀分布，密文像素值在灰度值区间内取值概率大致相等，统计特性良好，扰乱效果理想，可以有效抵抗选择明文攻击或者选择明文攻击。

4 结束语

本文首先指出HIE［6］方法的优缺点，之后分别对系统复杂性和系统与明文与系统的相关性2个方面进行改进。最后对改进算法进行了理论分析和实验仿真。实验结果表明，改进算法在保持并了原加密算法计算方法简单等优点的同时，解决了原算法的缺陷，并具有较好的统计特性、差分特性以及密钥敏感性等密码学特性。

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(编辑:刘 勇)