对称符号模式矩阵的幂等性质及结构

朱兴文, 王彭德

(大理学院 数学与计算机学院, 云南 大理 671003)

0 引言

一个n阶符号模式矩阵矩阵P，若它的每一行和每一列上只有一个元素等于+，而其余元素都等于0，则称P为置换模式矩阵.若A,B, 是两个方符号模式矩阵，若存在置换模式矩阵P使得B=PAPT，则A,B是置换相似.一个置换模式矩阵或符号差模式矩阵中的某些(也可能是全部)非零元素用负元素代替而得到的符号模式矩阵，则称P为广义置换模式矩阵；若A=PBPT，则称符号模式矩阵A广义置换相似于符号模式矩阵B[3].

A是复m×n的矩阵，如果n×m的矩阵G满足(1)AGA=A；(2)GAG=G；(3)(GA)T=GA；(4)(AG)T=AG，则称矩阵G为矩阵A的Moore-Penrose逆.给定一个符号模式矩阵A，若存在数字矩阵B,C∈Q(A)，使得它们满足Moore-Penrose逆的(i),(j),…,(l)，则称A允许(i,j,…,l)-广义逆，记作G(i,j,…,l)，也就是A∈G(i,j,…,l)；若满足(1)和(2)，则称A∈G(1,2)；若满足(1)～(4)的所有等式，则称A∈G(1,2,3,4)，此时，我们说A允许A+[4].

一个符号模式矩阵A，若A=AT，则称A为对称符号模式矩阵.本文从对称符号模式矩阵的结构研究了符号模式矩阵的广义逆及其幂等性质；并将F. J. Hall, Z. Li和B. Rao等给出的关于非负符号模式矩阵的性质及结构[6]推广到了对称符号式矩阵.

1 引理

引理1.1[4,7]集合ID，SI，G(i,…,l) 在以下变换中是封闭的：(1) 符号差相似；(2) 置换相似；(3) 转置.

引理1.2[8]如果符号模式矩阵A∈ID,且在A2的运算中没有出现#元素，那么A∈SI, 且A的主对角线上的元素为非负元素.

引理1.3[5,7-9]符号模式矩阵A是n×n的不可约符号模式，且A∈SI，则有以下结论成立：

(1)A∈ID[7,9]；

(2)A=AT[8](A是对称符号模式矩阵)；

(3)A中没有零元素[5,8]；

(4)mr(A)=1[7].

2 主要结论

证明必要性：根据符号幂等的定义和引理1.1，显然成立.

为了讨论的方便，我们引入记号，用L表示定理2.1中符号模式矩阵A的相似块矩阵形式，即：

定理2.2给定A是一对称符号模式矩阵，且对于A2的运算不会出现#元素,则A是允许幂等的，即A∈ID，当且仅当A是符号幂等的，即A∈SI.

证明必要性 由引理1.2，结论显然成立.

充分性：由于A是一对称符号模式矩阵且A是符号幂等的，则A广义置换相似于B=diag(A11,A22,…,Akk) ，其中Aii是元素全为正或全为零的符号模式矩阵，i=1,2,…,k.从而Aii∈ID，则有B∈ID.根据引理1.1，可得A∈ID成立.

在文献[4]中，Eschenbach, Hall和李忠善得出以下结论：

我们可以知道这个定理是对非负符号模式矩阵而言的，根据定理2.1和定理2.2，可以得出与定理2.3类似的关于对称符号模式矩阵的一些结论.

定理2.4给定A是一对称符号模式矩阵，且对于A2的运算不会出现#元素，则A∈ID当且仅当A广义置换相似于L.

进一步不难得出一个等价命题.

定理2.5给定A是一对称符号模式矩阵，且对于A2的运算不会出现#元素.则以下命题等价：

(1)A∈DI；(2)A∈SI；(3)A广义置换相似于L.

以上，我们研究了对称符号模式矩阵的幂等性质及其结构.下面我们将来考虑对称符号模式矩阵的最小秩结构的性质.从定理2.1可知：若A∈SI，且mr(A)=r，则A广义置换相似于L.因此存在一个广义置换模式矩阵P使得：

其中HT=(IrA2)PT，且mr(H)=r=mr(A).我们把这种分解的这种结构称为是最小秩结构[6].

定理2.6若A=AT且mr(A)=r，则以下命题等价：

(1)A广义置换相似于L.

(3)A广义置换相似于

J=diag(J1,J2,…,Jr,0,…，0)，其中Ji是元素全为正的方符号模式矩阵，i=1,2,…,r.

(4)A=HHT，其中H是n×r符号模式矩阵，且H包含Ir的一些行置换子矩阵，同时H的列是正交的且最小秩mr(H)=r.

证明 (3)⟹(2)：假设(3)成立，则存在一个广义置换模式矩阵P，使得

A=PTdiag(J1,J2,…,Jr,0,…,0)P，

(1)⟺(3)：假设(1)成立，由定理2.1可知，则A∈SI.因为A是对称符号模式矩阵，根据文献[4,12] 的修正后的Frobenius标准型，A置换相似于B=diag(A11,A22,…,Akk) ，其中Aii是元素全为正或元素全为零的符号模式矩阵，i=1,2,…,k.由于mr(A)=r，所以r≤k≤n.对B同时进行行置换和相应的列置换，则(3)成立.反之，假设(3)成立，对J同时进行行置换和相应的列置换，即可得(1).

(1)⟺(4)：假设(1)成立，则存在置换模式矩阵P，使得

类似于文献[6]中的定理3.3，从以上的讨论可得如下推论：

推论2.7A是一个没有零对角元的符号模式矩阵，且A∈SI，则以下命题等价：

(1)A∈ID.

(2)A=AT.

(3)存在广义置换模式矩阵P，使得PTAP=diag(J1,J2,…,Jr)，其中Ji是元素全为正的方符号模式矩阵i=1,2,…,r，并且mr(A)=r.

从文献[7]中，黄容已经给出了两类符号幂等的符号模式矩阵广义置换相似于非负的符号模式矩阵.通过定理2.6，我得到一个对称符号模式矩阵也是广义置换相似于非负符号模式矩阵；同时，也研究了对称符号模式的最小秩分解结构.接下来将研究符号广义逆，三次幂等和它们与允许幂等的关系.

定理2.8A是对称符号模式矩阵，mr(A)=r，且A是广义置换相似于L，则以下结论成立：

(1)存在实矩阵B,C∈Q(A)，使得BCB=B，也就是，A允许广义逆G(1,2).

(2)A允许广义逆G(1,2,3,4)，即A允许广义逆A+.

证明(1)由定理2.5可知A允许幂等，所以A允许三次幂等，故存在实矩阵B∈Q(A)，使得B3=B，从而A允许广义逆G(1,2).

(2)根据定理2.6，A广义置换相似于

J=diag(J1,J2,…,Jr,0,…,0),

其中Ji是元素全为正的方符号模式矩阵，i=1,2,…,r，并且mr(A)=r.从而存在一个广义置换模式矩阵，使得PTJP=A.将符号模式矩阵P和J中的正、负元素分别用+1和-1代替，则可得一实矩阵

E=diag(E1,E2,…,Er,0,…,0)∈Q(J),

其中Ei是元素全为1的实方阵，i=1,2,…,r.从而由实矩阵E的Moore-Penrose广义逆，可知：

其中Ei是元素全为1的实方阵，i=1,…,r.因此符号模式矩阵J允许Moore-Penrose广义逆，即J允许J+.根据引理1.1，可知：A允许广义逆A+.

定理2.9A是对称符号模式矩阵,mr(A)=r，且A是广义置换相似于L，则A∈ID当且仅当A允许广义逆G(1,2).

证明必要性 因为A∈ID，从而A允许三次幂等，故存在一实矩M∈Q(A)，使得M=M3，因而根据允许广义逆G(1,2)的定义，结论成立.

充分性 如果A允许广义逆G(1,2)，即存在两个实矩阵B,C∈Q(A)，使得BCB=B，CBC=C.所以可有BCBC=BC，CBCB=CB.由于A是广义置换相似于L，根据定理2.1，可知A∈SI，即A2∈Q(A).取D=BC，K=CB，则存在D,K∈Q(A)，使得D2=D，K2=K成立.所以A∈ID成立.

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