外微分在微积分中的应用

宋泽成，于兰芳

（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 河北民族师范学院 数学与计算机系，河北 承德067000）

外微分在微积分中的应用

宋泽成1，于兰芳2

（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 河北民族师范学院 数学与计算机系，河北 承德067000）

引进外积和外微分的概念后，用来解释微积分中的二重积分变量变换式、场论中的格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。

外微分；解释；微积分

在实际应用中，我们常用到的积分一般在三重积分以内，因此，这里只讨论到三重积分。实际上可推广到n重积分。

1 外积和外微分

定义1设φ、ψ是一元函数，我们规定一种运算为“外积”，用“∧”表示

外积具有下列性质：

（1）外积是可结合的，即

（2）外积是双线性的，即

（3）外积是不可换的，但有如下关系式：

定义2设M是二维或三维空间，如果线性映射dM具有下面性质：

（1）f是一连函数时，dMf=df，这里d是普通微分。

则称此线性映射为外微分。

有了以上的预备知识之后，就可以来解释微积分中的一些问题了。

2 外微分的应用

2.1 用外微分解释二重积分的变量变换公式

设

其中D是R2中区域，f是D上连续函数（如果需要，可以假定它是C1阶）作变量代换：

则f(x,y)代换成f(x(u,v),y(u,v))，将用坐标（u,v）表示，而积元素dxdy将代换为

这就是微积分所述的公式

但是，如果将变量代换(*)微分，得：

那么，积分号∫下的dxdy是否是(**)中两式相乘呢？显然不是。但如果把dx、dy看作一次微分形式，把积分号∫下的dxdy看成外积，即dx∧dy，那么，利用外积的性质，有

在n重积分中的变量代换公式也有完全类似的结果。

注：由以上解释可以看出，积分号∫下的dxdy不能写成dydx，因为它们不相等，相差一个负号。

2.2 用外微分考察场论中的三个公式

（1）格林公式

设(x, y)是R2中坐标，令

（2）斯托克斯公式

设(x, y, z)是R3中的坐标，令

The Application of Outside Differential in Calculus

SONG Ze-cheng1, YU Lan-fang2

(1. Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China; 2. Department of Mathematics and Computer Science, Chengde Teachers College for Nationalities, Chengde 067000, China)

After the concept of outer product and outside differential has been introduced, it is used to explain double integral variable transforms in the calculus, green's formula in the field theory, a stoke formula and the Gauss formula.

outside differential; explanation; calculus

O172

A

1009-9115(2012)02-0036-02

唐山师范学院教育教学改革研究项目（2011001013）

2012-01-04

宋泽成（1964-），男，河北唐山人，学士，副教授，大学本科，研究方向为函数论。