曲面的主曲率中心曲面的相关性质

樊丽丽

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

曲面的主曲率中心曲面的相关性质

樊丽丽

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

阐述了曲面的主曲率中心曲面及其性质，通过计算得到曲面与其主曲率中心曲面的关系。

主曲率；测地线；曲面

1 引言及预备知识

对于曲线及曲面的讨论始终是几何学的一个基本问题。文献[1-4]中给出了曲线与曲面的一些重要性质以及决定空间曲线和曲面形状的条件。文献[5]]给出了一个负曲率空间型中体现曲线弯曲性质的具体的例子：“鱼鳔线”，而且探讨了空间型中“超平面”的性质，这对构造体现空间型中闭曲面整体弯曲程度的例子是有帮助的。本文主要阐述了曲面的主曲率中心曲面及其性质，通过计算得到曲面与其主曲率中心曲面的关系。

定义1[1]对于高斯曲率K≠0的曲面∑，曲面

称为∑的主曲率中心曲面，其中iκ为∑的主曲率。

2 主要结论

定理1曲面∑的法线与其主曲率中心曲面∑i相切。

定理2曲面∑上的曲率线对应于主曲率中心曲面∑i上的测地线。

定理3球面的主曲率中心曲面∑i退化为一点（球心），圆环面的主曲率中心曲面∑i退化为一条曲线（圆）。

3 主要结论的证明

简便起见，取曲面的曲率线网为曲纹坐标网。

定理1的证明。

因为

同理可证与∑2相切。

定理2的证明。

不妨取∑上曲率线网为曲纹坐标网，曲率线为κ1的曲线对应u-线Γ，在∑1上它对应于曲线

其切方向

于是∑1的法向量

定理3的证明。

半径为R球面的主曲率为常数1/R，故球面的主曲率中心曲面∑i退化为一点（球心）。

若设球面参数方程为

其中

则球面的第一、二基本形式分别为

所以主曲率中心曲面

即为一点。

圆环面的参数方程为

其中r, a是常数，且0＜r＜a，同样经过计算可得圆环面的主曲率中心曲面即为它的中心线（圆）。

[1] 陈维桓.微分几何初步[M].北京:北京大学出版社, 1995.

[2] 梅向明,黄敬之.微分几何(第三版)[M].高等教育出版社,2005.

[3] 吴大任.微分几何讲义.[M].北京:人民出版社,1990.

[4] 黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海:复旦大学出版社,2003.

[5] 王雨生.空间型中的曲线和曲面.北京师范大学学报, 40(5):569-573.

（责任编辑、校对：赵光峰）

Properties of the Center of Principal Curvature Surface

FAN Li-li

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

Properties of the center of principal curvature surface were elaborated, and the relations between the surface and center of principal curvature surface were obtained by calculating.

principle curvature; geodesic; curvature surface

O186.1

A

1009-9115(2012)02-0034-02

唐山师范学院科学研究与发展基金项目（07C21）

2011-10-01

樊丽丽（1981-），女，河北保定人，硕士，讲师，研究方向为微分几何。