论60阶群的构造

陈松良，欧阳建新，李惊雷

（贵州师范学院 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550018）

数学研究

论60阶群的构造

陈松良，欧阳建新，李惊雷

（贵州师范学院 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550018）

设G是60阶群，那么G共有11个互不同构的类型，其中Sylow 5-子群正规的有10个。由此可得60阶单群A5的一个新的刻划，即60阶群是单群的充要条件是它的Sylow 5-子群不正规。

有限群；同构分类；群的构造

设n是正整数，确定n阶群的构造是有限群论中一个基本的分类问题。当p，q是不同的素数时，A. E. Western[1]确定了阶为pq3的群的构造；Lin Huei-Lung[2]确定了p2q2阶群的构造；当奇素数p≠3，7时，张远达[3]确定了23p2阶群的构造；景乃桓[5]确定了2372阶群的构造[4]；黄强确定了2332阶群的构造；古鲁峰等[6]确定了一类4pq阶群的构造，其中p, q是两个奇素数，p＞q≠3且q不整除p-1；假定p＞r＞q是3个不同的奇素数，当有限群的Sylow p-子群循环时，李圣国等[7]确定了2qpn阶群的构造，郑华杰等[8]确定了rq2pn阶群的构造，李圣国和黄本文[9]确定了22pn阶群的构造。设p, q是两个奇素数且p＞q，陈松良等[10]用新的方法，比较简洁地确定了pq3阶群的构造。本文将确定60阶群的全部构造，并由此获得60阶单群A5的一个新的刻划。

设Zn表示n阶循环群，表示pn阶初等交换群，，分别表示群G与元素g的阶，记xg＝g－1xg，其他符号的意义参见文献[11, 12，13]。

定理160阶群共有11种互不同构的类型，它们的全部构造如下：

其中仅有（xi）是不可解的。

1 引理

引理1设H是12阶群，则H必同构于下列5种类型之一[11,p111]：

其中H3同构于4次交错群A4。

2 定理的证明

以下恒设G是60阶群，P是G的Sylow 5-子群。

引理2如果P＜G，那么G恰有10个不同构的类型：(1) ～ (10)。

证明由于P＜G，所以G/P是12阶可解群，因而G是可解群。于是由Hall定理[13,p138]得知，G的Hall 5'-子群H存在。显然G＝HP且H是12阶群。设

众所周知，Aut(P)是4阶循环群。又H/CH(P)同构于Aut(P)的一个子群，于是H/CH(P)是单位元群，或2阶循环群，或4阶循环群。由引理1知H恰有5种不同构的类型，所以可作如下讨论：

这时易见CH(P)可有3种不同选择：〈a〉，〈a2〉，〈a4〉。

当CH(P)＝〈a〉时，我们有

于是G的构造是(1)。

当CH(P)＝〈a2〉时，a作用在P上必是P的一个2阶自同构，于是有xa=x-1，所以得G的构造是(2)。

当CH(P)＝〈a4〉时，a作用在P上必是P的一个4阶自同构，可取xa=x2，所以得G的构造是(3)。

这时CH(P)可有3种不同选择：〈a,b〉，〈a〉，〈a2,b〉。

当CH(P)＝〈a,b〉时，易见

于是G的构造是(4)。

当CH(P)＝〈a〉时，b作用在P上必是P的一个2阶自同构，于是有xb=x-1，所以得G的构造是(5)。

当CH(P)＝〈a2,b〉时，a作用在P上必是P的一个2阶自同构，于是有xa=x-1，但〈a2,b 〉=〈a2b〉是6阶循环群，而

所以当用a2b，a3分别代替a，b时，可知G的构造与(5)同构。

这时只能有一种情况，即CH(P)=H。所以必有G≅A4×Z5，因此G的构造是(6)。

这时CH(P)可有2种不同选择：〈a,b〉，〈a〉。

当CH(P)＝〈a,b〉时，G的构造是(7)。

当CH(P)＝〈a〉时，b作用在P上必是P的一个2阶自同构，于是有xb=x-1。又显然

且

所以

的构造是(8)。

这时有CH(P)＝H或CH(P)是H的6阶循环子群。

当CH(P)＝H时，G的构造必是(9)。

当CH(P)是H的6阶循环子群，不难验证H只有1个6阶循环子群〈a〉，于是必有CH(P)＝〈a〉，从而xb=x-1。显然

又

所以

的构造必是(10)。引理证毕。

引理3如果G的Sylow 5-子群P不正规，那么G必是不可解群，其构造是(11)。

证明因为G的Sylow 5-子群P不正规，所以由Sylow定理[13,p64]易知，

于是NG(P)是G的10阶子群。G的Sylow 3-子群与Sylow 2-子群分别记作Q，R，则Q，R都不是G的正规子群。事实上，如果

那么易见

从而

这与NG(P)是G的10阶子群矛盾。于是，再由Sylow定理[13,p64]知，

如果

则NG(R)是G的20阶子群，于是NG(R)有一个正规5阶子群，不妨设为P，从而又有R≤NG(P)，矛盾。如果

则显然有

于是由Burnside定理[12,p280]得，G有15阶正规子群，从而G有5阶正规子群，矛盾。所以必有

而N(R)G是G的12阶子群。

同理，由Sylow定理[13,p64]知，

如果

则NG(Q)是G的15阶子群，于是NG(Q)有一个正规5阶子群，不妨设为P，从而又有

矛盾。因此必有

而NG(Q)是G的6阶子群。设O2(G)是G的最大正规2-子群，则

若O2(G)是2阶群，则由N/C定理[11,p34]易知

于是NG(Q)必是6阶交换群，再由Burnside定理[12,p280]得，G有20阶正规子群，记为A。显然A有5阶正规子群，从而G有5阶正规子群，矛盾。因此

又G的Sylow 3-子群与Sylow 5-子群都不正规，故G不可解。令

则显然BG=1。记

为B的全体右陪集的集合。考虑G在Ω上的作用ρ：

众所周知，

令

则ab,ac,bc 都是2阶元，因此G的构造是(11)。证毕。

由引理2和引理3可知，定理1成立。由引理3的证明过程可知推论1成立。

推论1如果G是60阶群，那么下列说法等价：

（i）G是不可解的；

（ii）G同构于5次交错群A5；

（iii）G的Sylow 5-子群不正规。

[1] Western, A. E., Groups of order p3q[J]. Proc. London Math. Soc. 1898, 30: 209-263.

[2] Lin Huei-Lung, On groups of orders p2q, p2q2[J]. Tamkang J. Math. , 1974, 5: 167-190.

[3] Zhang Y. D. The structures of groups of order 23p2[J]. Chin. Ann. of Math. , 1983, 4B(1): 77-93.

[4] Jing N. H. Addendum to the structure of groups of order 23p2[J]. Chin. Ann. of Math. , 1985, 6B(4): 383-384.

[5] 黄强.2332阶群的构造[J].数学杂志,1986,6(1):51-58.

[6] 古鲁峰,黄若静,张林兰.一类4pq(p＞q≠3)阶群的构造[J].武汉大学学报(理学版),2005,51(S2):37-39.

[7] 李圣国,黄本文,詹环.一类阶为2qpn的群的构造[J].武汉大学学报(理学版),2005,51(S2):43-45.

[8] 郑华杰,黄本文,赵丽英.一类rq2pn阶群的构造[J].河南科技大学学报(自然科学版),2007,28(5):83-86.

[9] 李圣国,黄本文.一类阶为2·11·pn的群的构造[J].武汉大学学报(理学版),2007,53(3):271-273.

[10] 陈松良,等.pq3阶群的完全分类[J].海南师范大学学报(自然科学版),2010,23(3):253-255.

[11] 徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社, 1999.

[12] D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups[M]. Graduate Texts in Mathematics 80, Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin, 1982.

[13] H. Kurzweil, B. Stellmacher. The Theory of Finite Groups[M]. Springer-Verlag Inc.: New York, 2004.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Structures of Groups of Order 60

CHEN Song-liang, OUYANG Jian-xin, LI Jing-lei

(School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China)

Let G be groups of order 60. In this paper, we have showed that G has 11 nonisomorphic structures, and there are 10 structures among these where its Sylow 5-subgroups are normal. Thus we can know a new characterization of the simple A5, i. e. the group of order 60 is simple if and only if its Sylow 5-subgroups are non-normal.

finite group; isomorphic classification; structure of group

O152.1

A

1009-9115(2012)02-0022-03

贵州省自然科学基金资助项目（2010GZ77391）

2012-02-15

陈松良（1964-），男，湖南双峰人，博士，副教授，研究方向为有限群论及其表示。