一类具有周期扰动的向日葵方程的次调和分支
2012-02-03殷红燕
殷红燕
(中南民族大学数学与统计学学院，武汉430074)
1 问题的引入
本文考虑下面一类具有扰动的向日葵方程:
其中a是分支参数，ε，μ，b是实的参数，并且0＜ε≪1，r＞0，b＞0.ω=ω0(1-εη)，η 为去谐参数.
先把方程(1)写成如下等价形式:
令t=sr，α(rs)=x(s)，β(rs)=y(s)，且仍记s=t，则有:
系统(3)又有如下等价形式:
系统(4)在v=0时，线性部分的特征方程是:
在文［1］中，已经讨论了系统(1)在v=0时的Hopf分支情况.文［1］中的结论是:当v=0时，系统(4)在μ=0时存在Hopf分支，且分支发生在μ＜0方向，并且分支周期解是稳定的.在文［2］中，讨论了一类比较简单的扰动的向日葵方程的Hopf分支，得到了方程的调和解分支.本文将进一步考虑一类较复杂的扰动系统，即系统(4)在经历Hopf分支时，加上周期扰动所起的作用，即v≠0的情况.主要考虑周期扰动频率接近于σ0/2的情形，这里σ0是系统(4)的临界固有Hopf分支频率.
2 系统的简化
利用文［2］中的方法可以把系统简化.首先对系统(4)进行尺度变换，令，则(4) 式化为:再将变换后的系统写成滞后型泛函微分方程的形式.令C=C(［-1，0］，R2)，L(εμ) 是C［-1，0］到R2上的有界线性算子族.于是由Riesz表示定理［3］，存在一个二阶的、分量为有界变差函数的矩阵函数η(.，μ):［-1，0］→R2，使对任意φ∈C［-1，0］，有.事实上，只要取
即可，其中 δ(θ) 是 Dirac δ-函数.
对 φ ∈C［-1，0］，定义:
同时，由于对Ut=U(t+θ) ∈C［-1，0］，有记U=(x，y)T于是系统(6)可写成:事实上，当θ=0时，(7)式就是(6)式［4］.
令Λ={iσ0，-iσ0}是方程(5)的一对纯虚根，使用文［5］或文［6］的方法可以把方程(7)的解Ut分解到二维特征空间及其补空间上去，方程(7)可分解为:
3 次调和解的存在性与稳定性
下面讨论次调和共振情形下分支解的存在性与稳定性.对系统(8)的前2个方程施行积分平均法［6，7］，可以揭示出该系统的扰动Hop f分支的性态.首先引入新的时间变量τ=ωt，则.再令u1(τ)=ξsin(Jτ+φ)，u2(τ)=ξcos(Jτ+φ)，其中J=σ0/ω0.在此变化下，忽略o(ε)项，系统(8)的前2个方程可化为:
令J=1/2(二阶次调和共振情形)，对方程(9)进行积分平均得到:
从方程(11)可看出其正根的分布情况:
方程(11)有2个正实根，从方程(11)中可求得:
现在考虑非平凡解的稳定性，令ξ=ξ0+υ1，φ=φ0+υ2，得到关于非平凡解的线性变分方程为:
其特征根是:
因此，如果非平凡解满足条件
则非平凡解ξ0是稳定的，此时ξ0所对应的系统(1)的次调和分支解是稳定的.
容易看出由(12)式给出的较小的非平凡解始终不满足不等式(17)，因此是不稳定的，而另一个解只要满足(16)式，则必是稳定的.
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