基于弹性力学理论的重力坝应力计算方法

2012-01-29崔海波王成军

中州大学学报 2012年3期

崔海波，王成军

(1．郑州大学水利与环境学院，郑州450001;2．中国水利水电第十一工程局有限公司，郑州450001)

强度是表征建筑物安全因素中很重要的方面，而应力分析是校核强度的前提。重力坝的应力分析是为了判定坝体运用期和施工期是否满足强度和稳定方面的要求，同时也为研究、设计和施工中有关其他问题(如确定坝体混凝土强度分区以及在某些部位的配筋等)提供依据。用材料力学方法和有限元分析法求解坝体应力是目前求解坝体应力的常用方法。本文提出利用弹性力学方法求解任意水位时坝体应力，运用等效应力法、量纲分析法等，结合Saint－Venant原理和叠加原理，通过直角坐标系与极坐标系的转换，最后给出了可以精确计算重力坝坝体内部应力的计算表达式。

1．坝体受力的等效转化

一般情况下，实体重力坝的上游坡率取 1∶0．2 ～1∶0，下游坝坡可采用 1∶0．8 ～1∶0．6。在合理情况下，做如图1的简化，上游取1∶0，下游取1∶0．75，同时下游水位和土压力等暂不考虑。进行这种简化的目的旨在给出合理的公式，以体现该计算方法与材料力学的比较并便于计算。如图1为一般重力坝简化模型，以求给出坝体内部由于自重以及上游水压力产生的应力的计算公式。当考虑其他荷载作用时，计算模型可做同等简化。图2为图1的受力情况，水位h1为任意高度，b为坝顶宽度，水的密度用ρ表示，坝体的密度用ρ1表示，断面其他尺寸如图1所示，由叠加原理可知图2的受力等效于图3、图4、图5与图6的受力叠加。

2．坝体内部应力的弹性解

2．1 工况1情况下重力坝坝体内部的应力计算

如图3，坝体受水的压力和自重的作用，水和坝的密度分别为ρg和ρ1g，在线弹性力学范围内，应力必然与 ρg和p1g成正比，它们的量纲为 NL－3。假定问题有多项式解，其函数形式必然为 ρgN1，ρ1gN2，N1、N2为x，y，θ的函数，N1、N2必定是x，y的一次幂函数，应力函数中x，y的幂次要比各应力分量中的x，y的幂次高2次，因此应力函数φ必定是x，y的三次多项式，即取:

式(1)满足双调和方程:

同时，体力分量Fx=0，Fy=ρ1g ，由公式得相应的应力分量:

边界条件:

整理则得:

于是有:

根据应力分量的坐标转换公式

将式(5)的结果转换到极坐标系下，以便和下述计算结果整合。转换后的结果如下:

2．2 其他工况下的重力坝坝体内部应力计算

基于前面的详细解答，图4至图6工况下的求解过程略去，直接给出相应的应力表达式导出结果如下:图4工况下

图5工况下

图6工况下

利用叠加原理，即可得出重力坝任意水位时的坝体应力计算公式，如式(7)所示:

式(7)即为图1所示重力坝模型的坝体内应力的弹性解计算表达式。

3．分析与讨论

3．1 公式准确性验证

结合工程实例《孤山湖水库坝址混凝土重力坝设计》，对正常蓄水位时进行合理的简化后，其相应的数据:b=9m，H=h1+h2=84m，h1=75m，h2=9m，h3=12m，n1=1∶0，n2=1∶0．75(即 α =37°)，γ =24KN/m3(即ρg=24KN/m3)，ρg=10KN/m3。当h2=0时，即为图3模型。采用式(7)计算坝踵应力的结果为σr=－946．62KN/m2，σθ= －522．7KN/m2，τrθ=0，而用式(6)求得结果为 σr= － 840KN/m2，σ′r= －106．7KN/m2(坝顶的等效三角形产生的应力)，σθ=－522．7KN/m2，τrθ=0。可见，式(7)计算得到的结果与理论结果较为吻合。

3．2 蓄水位高度对坝体应力的影响

3．2．1 当h1一定时，同一高度不同θ值时的应力变化

仍以《孤山湖水库坝址混凝土重力坝设计》为例，取正常蓄水位时计算，数据如上，取r=50m，h2=9m，y=40m，当 x=0、5m、10m、15m、20m、25m、30m 时，其计算结果关系图如图7，其中:曲线1、曲线2 和曲线3 分别表示σr、σθ、τrθ与x的关系，即某一水位时，同一高程，不同点处的应力变化趋势，同时给出用材料力学方法求得的关系图(图8)，以做出比较。

对比图7和图8可知，用两种算法得出的应力结果的总体趋势大致相同，当水位一定时，距离坝体迎水面越远，σr越小，起初变化快，渐渐趋于稳定;σθ则先增后减，主要是应力叠加的结果;τrθ不断增大，变化则先缓后急，此种情况下得出的应力值及变化趋势较为真实。

3．2．2 当h2不同时，坝体内同一点的应力变化情况

基本参数同上例，取r=50m、θ=20°的定点作为研究对象。根据工程实际情况，最低死水位以淤泥高程等因素控制，要求 h2＜52m，所以取数据 h2=0、5m、10m、15m、20m、25m、30m、40m、50m 作为控制点，其计算结果关系图如图9，其中曲线1、曲线2和曲线3分别表示σr、τrθ、h2与的关系，即坝体内某一点应力与水位的关系，同时给出用材料力学方法求得的应力关系如图10所示，以进行比较。

通过对以插值点拟合给出的图形分析可知，两种算法绘出的关系曲线基本符合实际，而用弹性力学方法得出的应力值更为真实，趋势变化较明显，同一点的σr呈现由减到增的趋势，应力方向不变，主要是三角形法则叠加的结果，而σθ、τrθ的值的变化也主要是坝体重与水重产生的应力叠加的结果，坝体内τrθ可以为0。根据计算结果，当h2不同时，τrθ的变化最为明显，更需要关注。

3．3 公式的适用性

由式(7)可知，只需知道一些基本参数即可求出坝体在任意水位时的应力值及其分析。图1为重力坝简化的理想模型，当上游坝体存在坡率或下游斜坡线不能直接与左顶点连成直线时，均可简化为图1所示的模型，但要考虑上面略去的三角形荷载产生的应力，因为上述验证结果表明这部分应力不容忽视;如若存在其他力作用到重力坝上，只需对所建议公式加以修正即可。式(7)是求解重力坝任意点应力的基本公式，根据实际情况，可以基于该式衍生出符合实际的其他形式公式。