NIFP环

刘艳红，李男杰，魏俊潮

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

0 引言

在本文中，R表示有单位元的结合环；E（R），U（R），N（R）和J（R）分别表示R的幂等元集合、可逆元集合、幂零元集合和Jacobson根.设X⊆R，记lR（X），rR（X）分别表示子集X在R中的左、右零化子，即lR（X）＝｛r∈R｜rX＝0｝，rR（X）＝｛r∈R｜Xr＝0｝，有时简写为l（X），r（X）.特别地，当X＝｛a｝时，可表示为l（a），r（a）.设M 为左R－模，N 是M 的R－子模，作为左R－模，若N 是M的直和项，则用N｜M表示.根据文献［1］269，环R的一个元a称为exchange元，若存在e∈E（R），使得e∈Ra，1－e∈R（1－a）；a称为clean元，若存在e∈E（R），u∈U（R），使得a＝e＋u.由文献［1］275知，clean元总是exchange元.一个环R称为excnahge环，若R的每个元都是exchang元.一个环R称为clean环，若R的每个元都是clean元.显然clean环总是exchange环，但反过来不成立.宇化平在文献［2］27中指出Abel的exchange环是clean环，且在文献［3］中又证明了左quasi－duo的exchange环是clean环.

一个环R称为NI环，若N（R）形成R的理想；一个环R称为2－素环，若N（R）＝P（R）.易见NI环和2－素环都是NIFP环.一个环R称为NCI环［7］，如果N（R）＝0或者N（R）包含R的一个非零理想.显然，NCI环未必为直接有限环，从而由本文的定理1说明NCI环未必为NIFP环.本文证明NIFP的exchange环是clean环，从而NI的exchange环及2－素的exchange环都是clean环.

1 主要结果

定理1 设R为NIFP环，则R是直接有限环.

证明 设a，b∈R且ab＝1，又令e＝ba，则e∈E（R）.设h＝a－ea，则h∈N（R）.由于（1－e）e＝0，所以（1－e）N（R）e⊆J（R），从而（1－e）h＝（1－e）he∈（1－e）N（R）e⊆J（R）.因为eh＝0，所以h∈J（R），从而hb∈J（R）.由于hb＝1－e，故1－e∈J（R）；因此ba＝e＝1，从而R是直接有限环.

推论2 IFP环总是直接有限环.

设R为一个环，e∈E（R）.显然，J（eRe）＝eJ（R）e且N（eRe）⊆N（R），因此有下面的定理.

定理3 设R为NIFP环，e∈E（R），则eRe是NIFP环.

当R为quasi－normal环时，可得到定理3形式上的逆定理.

定理4 设R为quasi－normal环，e∈E（R）.若eRe及（1－e）R（1－e）都是 NIFP环，则R也是NIFP环.

证明 设a，b∈R，ab＝0，则eabe＝0.由于R为quasi－normal环，故由文献［4］1857推论2.2（1）知（eae）（ebe）＝0.由于eRe是NIFP环，所以eaeN（eRe）ebe⊆J（eRe）⊆J（R）.现设x∈N（R），则有正整数n，使得xn＝0.由文献［4］1857推论2.2（1）知，（exe）n＝exne＝0，故exe∈N（eRe），从而eaeN（R）ebe＝eaeN（eRe）ebe⊆J（R）.由文献［4］1857推论2.2（1）知，eaN（R）be⊆J（R）.同理，（1－e）aN（R）b（1－e）⊆J（R）.由于（eaN（R）b（1－e）R）2⊆eR（1－e）ReR，故由文献［4］1857定理2.1知，eaN（R）b（1－e）⊆J（R）.同理，（1－e）aN（R）be⊆J（R），因此aN（R）b⊆eaN（R）be＋eaN（R）b（1－e）＋（1－e）aN（R）be＋（1－e）aN（R）b（1－e）⊆J（R），从而R 是 NIFP环.

定理5 设R是NIFP环，则R是左极小Abel环.

证明 设e为R的一个左极小幂等元.任取a∈R，记h＝ae－eae.如果h≠0，则Rh＝Re，he＝h，eh＝0，从而h2＝hh＝heh＝0，所以h∈N（R）.由于R是NIFP环，所以h＝（1－e）h＝（1－e）he∈（1－e）N（R）e⊆J（R），从而Re＝Rh⊆J（R），这是不可能的；于是h＝0，所以对每个a∈R，ae＝eae，从而e是左半中心元，R是左极小Abel环.

推论6 1）NI环是左极小Abel环；

2）2－素环是左极小Abel环.

定理7 设R为NIFP环，x∈R为exchange元，则x为clean元.

证明 由于x为exchange元，故有e∈E（R），使得e∈Rx，1－e∈R（1－x）.设e＝y1x，1－e＝z1（1－x），取y＝ey1，z＝（1－e）z1，则y＝ey，z＝（1－e）z∈R 且e＝yx，1－e＝z（1－x）.易见（yz）（x－（1－e））＝yx－y（1－e）－zx＋z（1－e）＝e－y（1－e）－ze＋z（1－x）＝e－y（1－e）－ze＋1－e＝1－y（1－e）－ze.由于R为NIFP环，故y（1－e）＝ey（1－e）＝e（ey（1－e））（1－e）∈eN（R）（1－e）⊆J（R），ze＝（1－e）ze＝（1－e）（（1－e）ze）e∈（1－e）N（R）e⊆J（R），从而y（1－e）＋ze∈J（R），1－y（1－e）－ze是可逆元，因此有u∈R，使得u（y－z）（x－（1－e））＝1.由定理1知，（x－（1－e））u（y－z）＝1，故x－（1－e）是可逆元，从而x为clean元.

推论8 1）NIFP的exchange环是clean环；

2）NI的exchange环是clean环；

3）2－素的exchange环是clean环.

定理9 设R为NIFP环，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，则x为clean元.

证明 由于xn是clean元，故有u∈U（R），f∈E（R），使得xn＝u＋f.记e＝u－1（1－f）u，则u（xn－e）＝u（u＋f）－（1－f）u＝（xn－1）xn∈Rx，故e＝xn＋u－1（xn－x2n）∈Rx且1－e＝1－xnu－1xn（1－xn）＝（1－u－1xn）（1－xn）∈R（1－x），因此x是exchange元.由定理7知，x为clean元.

推论10 设R为NI环，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，则x为clean元.

推论11 设R为2－素环，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，则x为clean元.

设a∈R，若l（a）＝0，则称a为R的左正则元.为方便计，用W（R）表示R的所有左正则元的集合.设a∈R，若存在b∈R，使得ab＝1，则称a是R的右可逆元.若对每个a∈W（R），都有Ra｜R，则称R是左wGC2环［9］.若对每个a∈R，作为左R－模，当Ra≅R时，总有Ra｜R，则称R是左GC2环［10］.显然左GC2环是左WGC2环.

定理12 设R是NIFP环和左WGC2环，则R是左GC2环.

证明 设a∈R，使得Ra≅σR.设σ（a）＝c∈R，σ（ba）＝1，则bc＝1.由于R是NIFP环，故由定理1知cb＝1.若x∈l（a），则xc＝0，所以x＝x1＝xcb＝0，从而l（a）＝0.由于R是左wGC2环，所以Ra｜R，R是左GC2环.

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