关于弱－可补子群

李先崇，游泰杰

（贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵阳 550001）

子群的某种正规性与有限群结构的关系一直是有限群论研究的重要课题之一.群G的子群H称为在G中是拟正规的（quasinormal）或置换的（permutable），如果对任意T≤G，都有HT＝TH成立.这个概念首先由OR˙E［1］在1939年提出并研究，之后被大量推广.群G的一个子群H 被称为s－置换（s－permutable）或s－拟正规（s－quasinormal）或 π－拟正规的（π－quasinormal），如果∀P∈Sylp（G），都有HP＝PH成立.作为s－拟正规概念的推广，陈重穆在文献［2］中引入了s－半正规子群的概念.群G的一个子群H 称为s－半正规（s－seminormal）或s－半置换（s－semipermutable），如果对任意p｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH 成立，其中P∈Sylp（G）.群G的一个子群H 称为c－正规的（c－normal）［3］，如果存在 NG，使得G＝HN，且H∩N≤HG，其中HG为包含在H 中的G的极大正规子群.群G的一个子群H 称为弱s－置换的（weakly s－permutable）［4］，如果存在T◁◁G，使得G＝HT，且H∩T≤HsG，其中HsG是由H 所有在G中的s－置换子群生成的子群.利用这些子群研究群的幂零性、超可解性，人们已经获得了丰富的结果.［5－9］在本文中，笔者拟利用有限群G的极小子群及p2阶子群的弱－可补性研究有限群的结构，并给出群G的p－幂零性的几个充分条件.文中的群皆指有限群，所用符号是标准的，未交待的符号参见文献［10－11］.

1 基本引理

引理1.1 设G为内p－幂零群，则有如下结构：

1）G的每个真子群都是幂零群；

2）存在素数q使得｜G｜＝paqb；

3）G有正规的Sylowp－子群P，且若p＞2，则exp P＝p；若p＝2，则exp P≤4；G有循环的Sylowq－子群Q，且G＝PQ；

4）P／Φ（P）为G／Φ（P）的极小正规子群；

5）Z（G）＝Φ（G）＝Φ（P）×Φ（Q）.

证明 1）～3）由文献［12］定理5.4即得.由1）知G也是内幂零群，再根据文献［13］定理1.1（8）和（10）知4）和5）也成立.

引理1.2［5］4设A为G的弱s－半置换子群（弱可补的），A≤H≤G，则A在H中弱s－半置换（弱可补的）.

引理1.3［14］设A为G 的s－半置换子群，且A 为p－群，NG，则AN／N在G／N中s－半置换.

引理1.4［15］设G 是与A4无关的群，p＝minπ（G），NG，使得G／N 是p－幂零群.若p3｜｜N｜，则G是p－幂零群.

2 主要结果及其证明

定理2.1 设G为有限群，p为G的阶的一个素数因子，且（｜G｜，p－1）＝1，P为G 的Sylow p－子群.若P的每个极小子群在G中弱－可补，且p＝2时P与四元数群无关，则G为p－幂零群.

证明 设G为极小阶反例.由引理1.2知，条件是子群遗传的，故G为内p－幂零群.根据引理1.1可设G＝PQ，其中P，Q分别为G的Sylow p－子群、Sylowq－子群，P◁G，Q为循环群，且若p＝2，则exp P≤4；若p＞2，则exp P＝p.

设〈x〉为P的任意极小子群.若p＞2，则有o（x）＝p＞2.由题设知，存在T≤G使得〈x〉T＝G且〈x〉∩T≤〈x〉≤〈x〉.若〈x〉∩T＝1，则｜G∶T｜＝p，显然T为G的真子群，故T幂零.不妨设Q◁T，则T≤NG（Q）.由G为非p－幂零群，必有｜G∶NG（Q）｜＝p.由Sylow定理知p＝kq＋1且k≠0，所以有q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾；于是〈x〉∩T＝〈x〉＝〈x〉，即〈x〉在G中s－半置换，所以〈x〉Q＝Q〈x〉.由Sylow定理知Q◁〈x〉Q，否则有kq＋1＝p，其中k是正整数，即q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾，故Qx＝Q.由x的任意性知Q◁G，矛盾，所以p＝2且exp P≤4.若P为交换群，则由文献［13］6定理1.1（7）知P为初等交换群，从而exp P＝2.由以上讨论知Q◁G，矛盾，所以P为非交换群，于是Z（P）＜P.由G为内幂零群知Z（P）Q为幂零群，所以Z（P）＜Z（G）.又因P与四元数群无关，故应用文献［16］定理2.8知GN∩Z（P）≤GN∩Z（P）∩P＝1.另一方面，显然有1≠GN≤P，且GN在P中正规.由p－群性质知GN∩Z（P）≠1，矛盾；因此，极小阶反例不存在，于是G为p－幂零群.

注：定理中的条件“（｜G｜，p－1）＝1”不能去掉.例如：令G＝S3，p＝3，显然G的3阶子群在G中弱可补，但G不为3－幂零群.

推论2.2 设G为有限群，p为｜G｜的一个素因子，且（｜G｜，p－1）＝1，NG，G／N 为p－幂零群，P为N的Sylowp－子群.若P的每个极小子群在G中弱－可补，且p＝2时P与四元数群无关，则G为p－幂零群.

证明 假设定理不真，设G为极小阶反例.对任意的H＜G，（｜H｜，p－1）＝1，则H∩NH，且H／（H∩N）≅HN／N≤G／N，所以H／H∩N为p－幂零群.又因H∩N的Sylow p－子群的极小子群也是N的Sylowp－子群的极小子群，故H，H∩N满足题设，从而G为内p－幂零群，G＝RQ，其中R，Q分别为G的Sylowp－子群、Sylowq－子群，R◁G，Q为循环群且若p＝2，则exp R≤4；若p＞2，则exp R＝p.

由定理2.1知N为p－幂零群.设Nq为N的正规p－补，则NqG.因为Np＝N∩RN，Np是N的Sylowp－子群，故可设N＝Np×Nq.假设Nq≠1.设K／Nq为N／Nq的任意一个极小子群，则K＝〈x〉Nq.设｜Nq｜＝k，a＝xk，则a∈Np且〈x〉Nq／Nq＝〈a〉Nq／Nq，｜〈a〉｜＝p.因为〈a〉在G 中弱－可补，所以存在G的子群T，使得〈a〉T＝G且〈a〉∩T≤〈a〉，于是｜G∶T｜＝｜〈a〉｜／｜〈a〉∩T｜≤p，故存在y∈G，使得Tq＝Qx，其中Tq∈SylqT，这样，Nq＝≤Qy≤T.设〈a〉＝K1，显然有T／Nq≤G／Nq，（T／Nq）（K1Nq／Nq）＝G／Nq，T／Nq∩K1Nq／Nq＝（T∩K1）Nq／Nq≤KNq／Nq.由引理1.3可知，故T／Nq∩K1Nq／Nq≤（K1Nq／Nq），即T／Nq∩所以K／Nq在G／Nq中弱－可补，从而G／Nq满足推论的假设.由G的极小性知G／Nq是p－幂零群，所以G是p－幂零群，矛盾；因此Nq＝1，N为p－群，从而N≤R.若N＜R，则NQ为G的真子群，从而NQ为p－幂零群，所以QNQ；又因为G／N为p－幂零群，所以NQG，QG，矛盾；于是N＝R为G的Sylowp－子群，由定理2.1知G为p－幂零群，矛盾；因此，极小阶反例不存在，从而G为p－幂零群.

推论2.3 设G为有限群，p＝minπ（G），P为G的Sylow p－子群.若P的每个极小子群在G中弱可补，且p＝2时，P与四元数群无关，则G为可解p－幂零群.

证明 因为p为G的最小素因子，所以有（｜G｜，p－1）＝1，由推论2.2可得.

定理2.4 设G是与A4无关的群，p＝minπ（G），NG，使得G／N是p－幂零群.若N的一个Sylowp－子群P的每个p2阶子群都是G的弱可补子群，则G是p－幂零群.

证明 假设定理不真，设G为极小阶反例.首先证明G的任意真子群H 都是p－幂零群.不妨假定p｜｜H｜.设K＝H∩N，Kp∈SylpK，则H／K＝H／H∩N≅HN／N≤G／N为p－幂零群.根据Sylow定理，存在g∈N使得.不妨以H和Kp分别代替Hg和.若｜Kp｜≤p2，则由引理1.4得到H是p－幂零群.假设｜Kp｜＞p2.由于Kp的p2阶子群也是P的p2阶子群，根据引理1.2及定理条件知Kp的p2阶子群都是H的弱－可补子群，即H关于它的正规子群K满足定理假设.由G的极小性可知，H 是p－幂零群，于是G为内p－幂零群.根据引理1.1可设G＝P＊Q，其中P＊∈SylpG且P＊◁G，Q是G的循环Sylowq－子群.因为G／N是p－幂零群，故应用文献［10］120定理3.4.7（1）于p－幂零群系，有P＊≤N.又由P＊的正规性得P＊＝P.根据引理1.4，可以假定p3｜P｜.

任取P的p2阶子群L满足LΦ（P）（这样的子群一定可以取得.事实上，若Φ（P）＝1，显然可以取得.若Φ（P）≠1，选取Φ（P）的一个p阶元a和任意的x∈P＼Φ（P），则由引理1.1得a∈Z（P）及o（x）＝p或o（x）＝4.若o（x）＝p，则取L＝〈x〉〈a〉即可；若o（x）＝4，则取L＝〈x〉即可）.根据定理假设，L是G的弱－可补子群，于是存在T≤G使得LT＝G且L∩T≤L≤L，故有｜G∶T｜＝1，2，p，p2.

当｜G∶T｜＝2时，T◁G.又因为T为2－幂零群，所以T2′Char T◁G.显然有T2′＝G2′，所以G2′◁G，从而G为2－幂零群，矛盾.

当｜G∶T｜＝p时，不妨设p＞2.显然T为G的真子群，故T幂零.不妨设Q◁T，所以T≤NG（Q）.由G为非p－幂零群，则必有｜G∶NG（Q）｜＝p.由Sylow定理知p＝kq＋1且k≠0，所以有q｜（｜G｜，p－1）＝1，矛盾.

当｜G∶T｜＝1时，也即T＝G，L在G中s－半置换，则RQ＝QR≤G，由P∩LQ＝L（P∩Q）＝LLQ 知LQ≤NG（L）.因为P／Φ（P）是初等Abel p－群，所以LΦ（P）／Φ（P）P／Φ（P）.又因Q≤NG（L），故LΦ（P）／Φ（P）G／Φ（P），即LΦ（P）G，且满足Φ（P）＜LΦ（P）≤P.又因为P／Φ（P）是G／Φ（P）的极小正规子群，所以P＝LΦ（P）＝L，则P为p2阶子群，与p3｜P｜矛盾.

当｜G∶T｜＝p2时，T为G的真子群，故T幂零.不妨设Q◁T，则T≤NG（Q）≤G.由G为非p－幂零群，必有｜G∶NG（Q）｜＝p或｜G∶NG（Q）｜＝p2.由以上讨论知只须讨论｜G∶NG（Q）｜＝p2.由Sylow定理知p2＝kq＋1且k≠0，则p2－1＝kq，所以有q｜p－1，或q｜p＋1.由p是｜G｜的最小素数因子可知必有q＝p＋1，从而得到p＝2，q＝3，这与G是与A4无关的群矛盾.

综上所述，极小阶反例不存在，定理得证.

推论2.5 设G是与A4无关的群，p＝minπ（G），NG使得G／N是p－幂零群.若N的一个Sylowp－子群P满足P∩Op（G）的每个p2阶子群都是G的弱可补子群，则G是p－幂零群.

证明 因为G／N 是p－幂零群且G／Op（G）为p－群，所以G／N∩Op（G）是p－幂零群.又因P∩Op（G）是N∩Op（G）的Sylowp－子群，故由定理2.4知G是p－幂零群.

推论2.6 设G是与A4无关的群，p＝minπ（G），P是G的一个Sylow p－子群且P∩GN的每个p2阶子群都是G的弱可补子群，则G是p－幂零群，这里GN是G的幂零剩余.

推论2.7 设G是与A4无关的群.若对每个p∈π（G），都存在G的一个Sylow p－子群P使得P∩Op（G）的每个p2阶子群都是G的弱可补子群，则G是超可解型的Sylow塔群.

定理2.4、推论2.5、推论2.6和推论2.7中的条件“G是与A4无关的”不能去掉.例如A4本身，它有唯一的4阶子群K4.因为K4＝K4∩O2（A4）A4，所以K4显然是A4的弱可补子群，但A4不是2－幂零群，也不是Sylow塔群.

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