对一道高考试题的讨论

2012-01-23杨宋鹏姚新利

物理通报 2012年7期

杨宋鹏姚新利

(铜川市耀州中学陕西铜川 727100)

文献[1]刊登了对2010年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)物理试题的评析，其中第24小题，给出了两种解法，这两种解法的确简单，但是读完之后，总觉得这样的解法没有考虑初始位置间的夹角，有些不妥.课堂上给学生讲完上述两种解法后，大部分学生同样不能理解：为什么不考虑初始位置间的夹角？从图1所示位置开始到第一次共线，a，b运动过的圆心角的差值并不等于π.思考再三，原来教师总是向学生强调重视过程的分析，但学生对题目中a，b物体运动过程中的关系并没有弄清，上述两种解法中同样没有过程的分析.为什么不考虑初始位置间的夹角，的确存在思维上的漏洞．于是笔者在课堂上引导学生分析，找到了两种更好的、更常规的解法，现在与大家分享．

题目：如图1所示，3个质点a，b，c质量分别为m1，m2，M(M≫m1，M≫m2)．在质点c的万有引力作用下，a，b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为ra∶rb=1∶4，则它们的周期之比Ta∶Tb=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a，b，c共线了______次．

图1

解析：万有引力提供向心力，则

所以Ta∶Tb=1∶8．第一问的求解与参考答案相同．

现将第二问的两种常规解法介绍如下.

解法一：物理过程分析法

第一问已经求得Ta∶Tb=1∶8，即b物体运动1周的时间内a物体运动8周．据此，将b物体运动的轨迹圆周分成8等份，如图2所示．

图2

在a物体运动第1周的时间内，b物体从图2中的b位置到b1位置，此过程中，a的线速度大，质点a，b，c第一次共线出现在当a在b4cb5区域运动的过程中(a、b在c的两侧)；由于a最后回到出发点，因此a，b，c第二次共线出现在当a在bcb1区域运动的过程中(a，b在c的同侧)．所以在a运动第1周的时间内，质点a，b，c共线出现2次．

在a运动第2周的时间内，b从图2中的b1位置到b2位置，a的线速度大，b的线速度小，a，b，c的第一次共线出现在当a在b5cb6区域运动的过程中(a、b在c的两侧)，此后a最后回到出发点，不可能再出现a，b，c共线的情形．所以在a运动第2周的时间内，a，b，c共线出现1次．

在a运动第3周的时间内，b从图2中的b2位置到b3位置，a的线速度大，b的线速度小，质点a，b，c的第一次共线出现在当a在b2cb3区域运动的过程中(a、b在c的同侧)，相当于a超过b时；质点a，b，c第二次共线出现在当a在b6cb7区域运动的过程中(a，b在c的两侧)．所以在a运动第3周的时间内，质点a，b，c共线出现2次．

同理，b从图2中的b3位置到b4位置，从b4到b5，从b6到b7，b从图中的b7位置回b位置，这几个过程中，质点a，b，c共线出现2次．而b从图中的b5位置到b6位置的过程，与b从图中的b1位置到b2位置的过程相似，质点a，b，c共线出现1次．

所以在b运动1周的时间内，质点a，b，c共线了14次．从分析求解过程可以看出：当b在a的起始位置所在的区域及其对称区域运动时，质点a，b，c共线出现1次，其他区域质点a，b，c共线出现2次，与初始位置间夹角∠acb的大小无关．

这个解法符合学生的思维习惯，便于解答学生心中的疑惑，有利于学生思维能力和分析力、动手能力的培养，但是过程繁琐，考试中较费时间．

解法二：计算法

也是利用两次共线的时间间隔t计算，但将开始计时到第一次共线的时间单列计算．

为便于理解，先分析起始位置共线的两类情况．在图3所示的两类情况中，设每隔时间t，质点a，b，c共线1次，则

(ωa-ωb)t=π