由面心立方(111)面间距谈几何晶体学的几个基本概念*①

2012-01-23马天平谭伟石

物理通报 2012年2期

关键词：晶胞晶面晶体

马天平谭伟石

(南京理工大学理学院应用物理系江苏南京 210094)

1 引言

在通常的《固体物理学》和《X射线衍射学》教材[1～3]中，都表示可以采用公式

(1)

2 面心立方晶体(111)面间距的计算

出现上述问题的根本原因在于公式(1)中的指数h,k,l为密勒指数，而不是晶面指数.因此，不能将晶面指数代入此公式计算面间距.为此，需要先导出采用晶面指数计算面间距的公式.

如图1所示，选取面心立方晶体的固体物理学原胞的初基矢量为

(2)

图1 面心立方晶体的原胞坐标系

式中i,j,k分别表示笛卡儿正交坐标系中三个坐标轴的单位矢量.

根据倒易点阵的定义式

计算其倒格子的初基矢量，得

(3)

(4)

通常所使用的面间距公式(1)中面指数(hkl)是在晶胞坐标系a,b,c中确定的密勒指数.这就涉及到对晶胞和固体物理学原胞等概念的辨析.

3 几何晶体学中几个基本概念的辨析

上述问题通过基矢的适当选取得到了解决，但更本质上反映的是对几何晶体学中几个基本概念的混淆.

(1)原胞.体积最小的重复单元称为原胞或固体物理学原胞[1,2].原胞的选取不是唯一的.只要符合体积最小和周期性两个条件即可，所以原胞往往不能表达对称性.若使用威格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞[2]，则既能反映晶格的全部对称性，也能反映周期性.

(2)晶胞.又称单胞，或称结晶学原胞，是晶体结构的最小重度单元，即在能反映晶体对称性的前提下选取体积尽量小的重复单元.实际的晶体结构可以看成是晶胞在三维方向周期性地堆砌而成.在晶胞中，可含有一个或多个格点，体积为原胞的一倍或数倍.在晶胞中所选取的沿晶轴的三个矢量通常也称为轴矢.晶胞的概念强调了对称性.

(3)晶面指数.在固体物理学原胞的基矢坐标系中，晶面在三个基矢a1,a2,a3方向上的截距以基矢长度作为单位进行度量后取倒数，约去公因子，得到一组互质的整数，即为该晶面的晶面指数，常用(h1h2h3)表示[4].

(4)密勒指数.在晶胞的轴矢坐标系中，晶面在三个轴矢a,b,c方向上的截距以轴矢长度作为单位进行度量后取倒数，约去公因子，得到一组互质的整数，即为该晶面的密勒指数，常用(hkl)表示.

可见，晶面指数和密勒指数的确定方法相同，但是二者之间存在的差异在于所采用的基矢量不同.

在实际应用中，人们往往习惯使用密勒指数，即使用晶胞(单胞)的基矢讨论问题.尤其在正交晶系中，通常以正交基矢对应的密勒指数讨论晶面问题.但需要注意的是，密勒指数所选取的基矢能很好地体现对称性，但并不一定对应最小的周期性单元，尤其在计算面间距的过程中，如果在概念上混淆，用密勒指数代入对应于晶面指数的公式，就会产生错误.

在面心立方晶体的轴矢坐标系a,b,c中