彰显孪生题中的比较思维

吴宗德

(江阴市第一中学 江苏 无锡 214400)

从繁杂的物理情景和物理过程中思辨“同中求异”、“异中求同”，就是物理比较思维．物理比较思维能力被认为是创造性思维能力的基础，培养和发展学生创新思维能力是新课标提出的新理念．

比较是在头脑中确定事物共同点与不同点的思维过程，有比较才有鉴别．通过比较，使被比事物本质特征更加清晰，从而确切认识它们的区别和联系．物理学中有许多形同质异、貌似神离的问题．

本文就几个孪生题为例，以培养学生比较思维能力，激发学生创造力．

1 定杆与动杆

【例1】如图1(a)所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，∠AOB=30°,求细绳OA中张力T大小和轻杆OB中O点受力N大小．

图1

解析:本题是动杆问题．轻杆OB可绕B点转动,所以在B处相当于铰链，轻杆OB对节点O的作用力必定沿BO方向，所以对节点O进行正交分解易得

Tsin30°=mgTcos30°=N

解得

孪生题1.如图1(b)所示，水平横梁一端B插在墙壁内，另一端装有小滑轮O，一轻绳一端A固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m重物，∠AOB=30°，求细绳OA中张力T和横梁一端对O的作用力N大小．

解析：本题是死杆问题．由于水平横梁一端B插在墙壁内，所以横梁对小滑轮O的作用力的方向是不能确定的，不能简单地认为沿水平BO方向．由于是滑轮，所以细绳OA、OC中张力T=mg，根据3个力的平衡特点：横梁一端对O的作用力与细绳OA、OC的合力是一对平衡力

感悟：例1中轻杆OB可绕B点转动，是“活杆”，它产生的弹力必定沿着杆的方向；而孪生题1中水平横梁一端B插在墙壁内，是“死杆”，它产生的弹力方向不一定沿着杆的方向．尤其在力矩不作为江苏省高考考纲要求的情况下，学生在分析杆的弹力时一定要弄清是“活杆”，还是“死杆”，否则就要出错．

2 重盘与轻盘

图2

【例2】如图2所示，弹簧秤秤盘的质量m=1.5 kg，盘内放一质量为M=10.5 kg的物体，弹簧质量不计，其劲度系数为κ=800 N/m，系统处于静止状态.现给M施加一个竖直向上的力F，使M从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2 s内F是变力，在t=0.2 s以后F是恒力，问F的最大值和最小值各是多少？

解析：本题是“重盘”模型问题．因为在t=0.2 s内F是变力，在t=0.2 s以后F是恒力，所以在t=0.2 s时，M离开秤盘．此时M受到盘的支持力为零，由于盘的质量m=1.5 kg，所以此时弹簧不能处于原长状态．设在0～0.2 s这段时间内M向上运动的距离为x，对物体M根据牛顿第二定律可得

F-Mg=Ma

对于盘和物体M整体应用牛顿第二定律可得

F+κΔx1-(M+m)g=(M+m)a

静止时对整体

(M+m)g=κΔx2

而

所以求得

a=6 m/s2

当M开始运动时拉力最小，此时对盘和物体M整体有

Fmin=(M+m)a=72 N

当M与盘分离时拉力F最大

Fmax=M(g+a)=168 N

孪生题2：如图2所示，弹簧秤秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个质量为M=12 kg的物体处于静止状态，弹簧的劲度系数κ=800 N/m．现给M施加一个竖直向上的力F，使M从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2 s内F是变力，在t=0.2 s以后F是恒力，问F的最大值和最小值各是多少？

解析：本题是“轻盘”模型问题．因为在t=0.2 s内F是变力，在t=0.2 s以后F是恒力，所以在t=0.2 s时，M离开秤盘．此时M受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长状态．设在0～0.2 s这段时间内M向上运动的距离为x，则

因为

所以M在这段时间的加速度

当M开始运动时拉力最小，此时对物体M有

F=Ma=90 N

当M与盘分离时拉力F最大，有

小学教师在开展语文教学的过程中，要想将小组合作的效用展现出来，师生间的密切配合，往往是必不可少的。至此，在这其中，教师一定要充分地发挥出自身的效用，来辅助学生找寻角色定位，使学习目标得到进一步地明确，保障小组合作的顺利开展，使每位学生都有所收获，将该模式的效用展现出来。

Fmax=M(a+g)=210 N

感悟：例2中“重盘”的质量是不能忽略的，因此当物体M与“重盘”脱离时，弹簧必定处于压缩状态．孪生题2中“轻盘”的质量是可以忽略的，因此当物体M与“轻盘”脱离时，弹簧必定处于原长状态．弄清了这一区别，在求解相关问题时就不会出错．

3 平衡与非平衡

【例3】如图3(a)，一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环的质量均为m，两环间由一根质量不计、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和摩擦力f的变化情况是

A．N不变，f变大 B．N不变，f变小

C．N变大，f变大 D．N变大，f变小

图3

解析：本题是Q处于平衡态．P和Q在移动前后的两个状态下都处于平衡状态．如图3(b)所示，设∠OPQ=θ,对整体P和Q在竖直方向上：FN=2mg，FN前后保持不变．

对Q：Tsinθ=mgθ变大推得T变小

对P：f静=TcosθT和cosθ变小推得f静变小

答案为选项B.

孪生题3.如图4(a)，一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环的质量均为m，两环间由一根质量不计、不可伸长的细绳相连，用水平向右的作用力F使小环P匀速向右平动．在平动过程中，AO对小环P的支持力N及滑动摩擦力f的变化情况是

B．N变大，f变大

C．N不变，f变大

D．N变大，f不变

图4

解析：本题是Q处于非平衡态．利用P和Q连接体任意时刻在沿绳方向速度相等．如图4(b)所示，设∠OPQ=θ，则

vPcosθ=vQsinθ

vQ=vPcotθ

在P向右匀速运动、Q向上运动的过程中，θ一直减小.vP为定值意味着vQ将变大，所以Q加速上升．

利用vQ=vPcotθ等式两边分别对t求导得

利用M，P沿绳速度相等和下式

vMcos(90°-2θ)=vPcosθ

式中负号表示方向， 所以等式可以简化为

从上式中可看出，θ减小.则aQ将变大，所以Q在竖直方向上做加速度增大的加速运动.

利用系统牛顿第二定律在竖直方向上，则

N-2mg=maQaQ变大推得N变大

f=μNN变大推得f变大

感悟：例3中P和Q均处于平衡态，而孪生题3中P处于平衡态，Q却处于非平衡态，很容易造成思维定势，记得在近三年，苏州、无锡、常州、镇江4城市联考中，当时此题给出的参考答案也是按照平衡态来处理的，可能就是没有注意到这两孪生题之间的区别．

4 相切与全发射

【例4】如图5(a)所示，空心透明球壳折射率为n，内外半径分别为a和b，内表面涂有吸光物质，可将射到内表面的光线完全吸收，当一束平行光线射向此球时，被吸收掉的光束截面积多大？(指这部分光进入空心球以前的横截面积)

图5

被吸光束截面半径为

R=bsini=na

所以被吸光束截面积为

S=πR2=πn2a2

孪生题4.如图6(a)所示，用折射率为n的透明介质做成内、外半径分别为a和b的空心球壳，当一束平行光射向此球壳，经球壳外、内表面两次折射，而能进入空心球壳的入射平行光束的横截面积是多大？

解析：本题是全反射．根据对称性可知所求光束的截面应是一个圆，如图6(b)，设入射光线AB为所求光束的临界光线，入射角为i，经球壳外表面折射后折射角为r，因为AB为临界入射线，所以射向内表面的光线的入射角应正好等于临界角θc．在△OBE中，由正弦定理得

由于

所以

由几何关系可得

R=bsini=a

所求平行光束的横截面积

S=πR2=πa2

感悟：例4解题的关键是抓住临界光线——吸掉的最边缘的光线刚好与内表面相切，孪生题4中的临界光线——射向内表面的光线恰在E点发生全反射．

多年物理教学中笔者发现，通过比较孪生题，不仅能训练比较思维能力，而且对物理模型、条件、知识的理解更深刻．求解“孪生题”的整体效果比把它们分开，解孤立的两题效果好得多．