信用组合相关结构对组合风险量度的影响

詹原瑞，刘俊梅

（天津大学 管理学院，天津 300072）

信用组合相关结构对组合风险量度的影响

詹原瑞，刘俊梅

（天津大学 管理学院，天津 300072）

针对现有信用风险组合模型在违约相关结构建模中存在的问题，文章提出了基于copula函数的信用风险组合模型，并在此基础上，通过数值举例比较分析了相关结构对组合损失分布和风险量度的影响，表明了相关结构在信用风险组合建模中的重要性以及基于copula函数信用风险组合模型的优势。

相关结构;copula函数;组合损失分布;风险量度

在信用风险组合管理中，在已知资产违约概率的条件下，组合违约相关结构建模的准确与否对组合损失分布，进而对组合风险量度有着至关重要的影响。目前用来描述组合信用风险的主要模型之一是以portfolio manager模型和CreditMetrics模型为代表的特征变量模型［1］。这类模型通过假设特征变量服从联合正态分布来间接分析资产间违约相关性，这意味着特征变量间的相关结构通过Gaussian copula来描述。由此便产生两方面的问题，一方面由于Gaussian copula的尾部渐近独立性，使其无法反映信用风险资产间具有明显尾部相关性这一现象，因而利用其来为特征变量相关结构建模会造成对组合中大量资产同时发生违约的可能性的低估;另一方面，特征变量相关结构隐含在多变量的联合分布中，因而无法量化分析相关结构对组合损失分布以及组合风险量度的影响。针对上述问题，本文将探讨如何在特征变量模型基础上，运用copula函数为信用风险组合相关结构建模，并利用我国资本市场数据，估计和比较分析不同相关结构对组合损失分布和风险量度的影响。

一 信用风险组合损失和风险量度

（一）信用风险组合损失

对于一个由n项资产构成的信用风险组合，资产i（i=1，…，n）的信用风险特征可通过三个参数来描述，即违约暴露EAD、违约损失率LGDi和违约概率PDi。定义随机变量Di为资产i在T时的违约指示变量，即资产i发生违约，则Di=1，否则Di=0，这表明在仅考虑违约信用风险的条件下，在风险管理者确定的时期（一般为一年）内，组合中资产i或者以概率PDi发生违约，或者以概率1－PDi不发生违约。

假设Li表示资产i违约时发生的损失，为便于计算，这里假设资产i的违约暴露EADi及违约损失率LGDi为常数（这一假设可以放松），则

（二）风险量度

目前由巴塞尔银行监管委员会推荐使用的标准风险量度为受险价值（Value at risk简记为VaR）。它定义为组合损失分布的α分位数。其主要优势是用单个数字清晰地表述出风险量度所涵盖的内容——可能发生的损失量和发生这种损失的可能性。但同时也有大量的文献对其作为风险量度的适宜性提出了批评。这些批评主要表现为两方面：第一，VaR仅度量了组合损失分布某一点的损失水平，对超出这一点的损失分布行为未予以考虑，因而不具有风险敏感性。第二，根据文献［2］提出的一致性公理，VaR不具有次可加性，因而不是一个一致性风险量度。

针对VaR存在的问题，文献［2］提出了一个一致性风险量度——预期短缺（Expected shortfall简记为ES），其定义为组合损失超过VaR条件下的损失平均值。因此ES描述的是信用风险组合损失分布尾部最坏100（1－α）%情景下的组合损失平均值。这显然是一个比VaR更保守的风险量度，而且相对于VaR而言，ES不仅考虑了组合损失大于VaR的极端损失的严重程度，而且满足广义一致性，因此，它是一个比较合适的信用组合风险量度。

二 基于copula函数的信用风险组合模型

（一）特征变量模型

考虑由n项公司债券或公司贷款组成的信用风险组合，随机变量Xi（i=1，…n）表示资产i在T时的特征变量（一般解释为资产收益），并假设它有连续的分布函数Fi（Xi）=P（Xi≤xi）。Bi（i=1，…n）表示资产i在T时违约的违约临界水平。如果关系式

成立，则称 （Xi，Bi）1≤i≤n为二元随机向量D=（D1，…，Dn） 的特征变量模型［1］。

在此模型中，资产间违约相关性通过资产收益间相关性来推导，而资产收益间相关系数的校准则通过一个因素模型予以实现。模型假设特征变量Xi（i=1，…n）依赖于一组共同的风险因素Y=（Y1，…，YK），K＜n，如宏观经济指标 GPD、CPI等，因而Xi（i=1，…n）可表示为：

根据随机向量联合分布函数的构成可知，式（4）中隐含的组合收益分布的相关结构为Gaussian copula。但Malevergne＆Sornette（2004）的实证研究表明：Gaussian copula的资产收益相关结构会造成组合收益分布尾部的低估。对信用风险的组合管理而言，这种低估，尤其是在组合收益分布的下尾部，将会导致信用风险组合中多个资产同时违约的极端事件的发生概率被低估。基于此，本文在模型（4）基础上，提出了基于copula函数的信用风险组合建模框架。

（二）Copula函数

Copula函数是连接随机变量边际分布的累积分布函数，根据Sklar定理［4］，对于一个具有一元边际分布F1，…，Fn的联合分布函数F，一定存在一个copula函数C，使得

由此可知，copula函数描述的是随机向量的相关结构。运用copula函数为相关结构建模具有诸多优势：与线性相关系数相比，运用copula函数所得到的相关性量度可以捕捉变量间非线性相关关系，因此应用范围更广、实用性更强;而与基于联合分布函数的建模方法相比，基于copula函数的建模方法可将相关结构建模从随机向量的联合分布建模中独立出来，可更灵活准确地描述变量间的相关结构及各变量的边际分布。

在相关结构建模中，常用的copula函数主要有两大类，即椭圆copula和阿基米德 copula。椭圆copula是多变量椭圆分布函数的相关结构，它的两个主要成员是Gaussian copula和t－copula，分别源于多元正态分布和多元t分布。

阿基米德copula函数是借助于一个特定的生成函数构造而成的一类copula。其主要特征表现为：1．构造方式简单;2．相对于椭圆copula函数，有闭式表达式;3．可以考虑多种不同的相关结构。

但二者之间一个显著的差异是：椭圆copula通过n×n维的相关系数矩阵对组合中成对资产间相关关系的差异性予以充分的表述;而阿基米德copula表示的组合资产间的相关关系是完全可交换的，因此它将无法反映成对资产间相关关系的差异性，这也是阿基米德copula在多变量相关结构建模中的局限所在［9］。

（三）基于copula函数的信用风险组合模型

由于公司在共同的宏观经济环境下运营，各个公司的命运通过具体的行业和/或一般的经济条件而联系在一起，因而公司的违约事件常常是相关的。具体来说，导致公司违约风险发生变化的原因由外到内依次为：整个宏观经济环境发生变化、行业生存条件发生变化、公司自身的特定条件的变化［5］。由公司自身的特质因素产生的违约一般不会产生相关违约;宏观经济条件的变化对各个行业的发展产生影响，进而影响到行业中的各个公司的发展;行业因素的变化首先影响的是行业内的各个公司，同时通过不同行业在投入产出间的连续性，对其他行业及其所属公司产生影响。可见行业因素在宏观经济因素和公司资产收益之间起到了媒介的作用。因而公司资产收益对其所属行业因素变化的敏感性要强于对GDP、CPI等宏观经济变量的变化。如果利用行业收益指数作为模型的系统风险因素，显然会比直接以宏观经济变量作为系统风险因素的模型更能准确地反映出公司之间的相关关系。

此外，Nagpal＆ Bahar（2001）、Arnaud＆ Oliver（2003）等的实证研究表明，行业因素对信用风险组合资产间的违约相关性有着重要的影响。而且在实际的信用风险组合管理中，风险管理者们也常常通过限制行业资产的最大暴露来控制组合的集中风险。

根据上述违约相关性产生原因的分析，并考虑到copula函数在相关关系分析方面的灵活性和稳健性，本文在式（7）基础上，提出以行业平均收益为系统风险因素，并利用copula函数来为其相关结构建模的信用风险组合建模框架。考虑到一个公司的收益可能会来源于多个行业的经营，因此信用风险组合中公司i的资产收益变量Xi可表示为：

形式完全相同的式（4）和式（6）的差异在于：Yk（k=1，…K）的含义不同，式（6）中的Yk（k=1，…K）表示公司i的资产收益中所涉及行业的平均收益，而且式（6） 并没有对Xi、Y=（Y1，…，YK） 和 εi的分布模式予以假设，仅说明Xi、Y=（Y1，…，YK）和εi均为均值为0、方差为1的标准分布随机变量。为便于表示，假设Xi和εi分布函数分别为Fi、Hi，随机向量Y=（Y1，…，YK）有连续的边际分布函数Gk，其相关结构为copula函数CY，那么随机向量Y=（Y1，…，YK）的联合分布函数可表示为：

当式（7）中的copula函数CY为Gaussian copula函数，且分布函数Fi、Hi和Gk均为标准正态分布函数时，模型（6）即为模型（4），因此可以认为这个基于copula函数的信用风险组合建模框架是对特征变量模型（4）的一般化，而特征变量模型仅是这个模型框架中的一个特例。但相对于式（4），式（6）可以更灵活地选择变量的边际分布和变量间的相关结构函数，从而可更准确地为信用风险组合建模。

三 算例研究

由式（6）可知，基于copula函数的信用风险组合模型可以对组合资产的相关结构进行独立建模，这为相关结构的量化分析提供了可能。为了更直观地了解相关结构对组合损失分布及其风险量度的影响，下面通过一个数值举例来进行比较分析。

假设组合中每一贷款都有标准普尔信用评级，因此贷款违约概率可采用标准普尔信用评级的平均年违约概率;同时假设各项贷款的违约损失率为1;而且为方便计算，假设组合中各项资产收益只涉及一个行业，此时式（6）被简化为一个单因素模型。资产组合基本数据见表1。

表1 资产组合基本数据

（一）行业平均收益相关结构的估计

文中选取我国资本市场中的机械制造业、钢铁、食品、医药、石化、批发零售、房地产、社会服务这8个行业的上市公司在2001－2006年期间的资本市场数据作为研究对象。

为了构造这八个行业的平均收益，本文选取的样本公司需满足以下几个条件：1．在上海和深圳证券交易所仅发行A股的上市公司;2．按照证监会行业分类，这些公司分属于上述行业;3．2001－2006年在交易所上市交易。

行业平均收益相关结构的估计过程如下：

首先，利用Merton公司价值模型，计算出各个上市公司的资产价值和收益序列，其中相关参数的设置可参见文献［8］。行业平均收益序列表示为该行业上市公司资产收益序列的加权平均，其中权重为公司资产价值的对数。

其次，估计行业平均收益的边际分布。通过统计分析，发现行业平均收益序列呈现出高峰、厚尾、有偏以及时变的波动性等特征，因此本文用偏t－GARCH（1，1）模型来描述行业平均收益序列，模型的具体表达式可参见文献［9］。

表2 各行业平均收益边际分布的参数估计结果

表2给出了利用极大似然估计法得到的参数估计结果。其中K－S统计量及其概率值结果表明：原假设“变换后的序列服从（0，1）上的均匀分布”没有被拒绝。另外对变换后的序列进行游程检验，结果表明，模型的残差序列是独立的。因此说明运用偏t－GARCH（1，1）模型来描述行业平均收益序列是充分的。

最后，行业平均收益相关结构估计。根据估计的边际分布模型，对行业平均收益序列的残差序列进行概率积分变换，得到一个新序列。在新序列基础上运用极大似然估计法即可估计出用于行业平均收益相关结构建模的copula函数的相关参数。

考虑到行业平均收益间相关性的差异性，以及阿基米德copula在多变量建模中的局限性，本文选择t－copula来为行业平均收益的相关结构建模。同时由上述分析可知，现有信用风险组合模型假设行业平均收益相关结构为Gaussian copula。为了与现有信用风险组合模型进行比较，本文分别对Gaussian copula和t－copula的相关参数进行了估计，并运用Blanket检验［10］对估计结果进行了拟合优度检验。

表3列出了行业平均收益相关结构分别为Gaussian copula和t－copula时相关系数的估计值以及相应的标准差。t－copula的自由度参数估计为6．915 9。从表3可以看出，行业平均收益间均存在不同程度的正相关关系。

表3 两种相关结构模型下行业平均收益间相关系数的估计值

表4给出了两种行业平均收益相关结构模型下，拟合优度检验统计量TN值及其近似p值。拟合优度检验统计量的数值表明t－copula的拟合优度显然要优于Gaussian copula。由此说明t－copula比Gaussian copula更适合用于描述行业平均收益相关结构。

表4 两种相关结构模型下的拟合优度检验结果

（二）组合风险量度计算

本文利用重要性抽样方法来计算组合损失分布及其风险量度［11］。考虑到信用风险组合管理中主要关注的是组合损失分布的尾部，图1显示了两种相关结构下、置信水平为95%时的组合损失分布尾部。

从图中可以清晰地看出，两种相关结构下损失分布尾部之间有明显的差异。而且计算结果表明：在置信水平为95%时，两种相关结构下的组合损失分布的分位点比较接近，分别约为316万元和321万元，但随着组合损失尾部的延伸，相关结构为Gaussian copula的组合损失尾部概率收敛于0的速度明显快于t－copula。

图2是对图1尾部的进一步放大，此时的置信水平为99%。比较图1和图2可以看出，随着置信水平的提高，由相关结构所导致的组合损失分布在尾部的差异明显增加。

图1 置信水平为95%时两种不同相关结构的组合损失分布尾部

图2 置信水平为99%时两种不同相关结构的组合损失分布尾部

表5给出了两种相关结构模型下，组合损失分布在不同置信水平下的VaR和ES。从中可以看出，在t－copula下得到的VaR和ES均显著大于Gaussian copula时的结果。形成这种差异的原因是因为t－copula考虑了行业平均收益间的尾部相关性，而Gaussian copula却没有，也正是这一点导致了现有模型对组合损失分布尾部的低估。

表5 两种相关结构下不同置信水平的VaR和ES单位：万元

四 结论

上述分析和算例表明：

1．相对于现有的特征变量模型，本文提出的基于copula函数的信用风险组合模型可以更灵活地选择变量的边际分布和变量间的相关结构函数，从而可更准确地为信用风险组合建模;

2．t－copula比Gaussian copula更适合用于描述行业平均收益的相关结构;

3．由于两种相关结构产生的组合损失分布在尾部的差异随置信水平的增加而增加，因此相对于tcopula而言，由Gaussian copula的行业平均收益相关结构所产生的组合风险量度的低估程度，随着置信水平的提高而增加，而且增加的幅度也随置信水平的提高而提高，因此现有模型存在着很大的模型风险。

［1］Frey R，McNeil A J，Nyfeler M．Copulas and Credit Models［J］．Risk，2001（10）：111 －114．

［2］Artzner P，Delbaen F，Eber J M，Heath D．Coherent Measures of Risk［J］．Mathematical Finance，1999，9（3）：203 －228．

［3］Malevergne Y，Sornette D．Tail Dependence of Factor Models［J］．Journal of Risk，2004，6（3）：71 －116．

［4］Embrechts P，McNeil A，Straumann D．Correlation and Dependence in Risk Management：Propertiesand Pitfalls［M］//Risk Management：Value at Risk and Beyond，ed．by M．Dempster，H．K．moffatt，Cambridge University Press，2001：176－223．

［5］Arnard de Servigny，Oliver Renault．信用风险度量与管理［M］．任若恩，等译．北京：中国财政经济出版社，2005：153－156．

［6］Nagpal K，Bahar R．Measuring Default Correlation［J］．Risk，2001（3）：129 －132．

［7］Arnaud S，Oliver R．Correlation Evidence［J］．Risk，2003（7）：90－94．

［8］翟东升，张娟，曹运发．KMV模型在上市公司信用风险管理中的应用［J］．工业技术经济，2007，26（1）：126 －128．

［9］詹原瑞，刘俊梅．基于copula函数的行业平均收益相关结构的实证分析［J］．统计与决策，2009（21）：77－79．

［10］Genest C，Rémillard B．Validity of The Parametric Bootstrap for Goodness－of－fit Testing in Semiparametric Models［J］．Annales de Institute HenriPoincaré－Probabilités et Statistiques，2008，doi：10．1214/07 －AIHP148．

［11］詹原瑞，刘俊梅．预期短缺ES估计的稳定性分析［J］．系统工程学报，2008，23（5）：526 －531．

（责任编辑 魏晓虹）

The Impact of the Dependence Structure of Credit Risk Portfolio on the Risk Measures

ZHAN Yuan －rui，LIU Jun －mei
（School of Management，Tianjin University，Tianjin300072，China）

Aimed at the drawbacks in modeling dependent structure of default in the existing credit portfolio models，a credit portfolio model based on copula functions is proposed．Then through the example of numerical value，the impact of dependent structure of portfolio on portfolio loss distribution and risk measure is compared and analyzed．The conclusions are drawn that it is important to model dependence structure in the credit portfolio models，and that it is proper to model credit risk portfolio based on copula function．

dependent structure;copula functions;portfolio loss distribution;risk measure

F830

A

1000－5935（2012）05－0116－06

2012－06－04

国家自然科学基金资助项目（70573076）;高校博士学科点专项科研基金资助项目（20050056057）

詹原瑞（1944－），女，江西婺源人，天津大学管理学院教授，博士生导师，主要从事金融工程管理、信用风险管理研究;

刘俊梅（1970－），女，山西忻州人，天津大学管理学院博士研究生，主要从事信用风险管理研究。