多重延迟复合更新风险模型中的局部破产概率

万成高

(湖北大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

0 引言

(1)

其中常数c(0

(2)

这里x≥0代表保险公司初始资本.

(1)S*={F：

对任意的γ≥0，有Sd(γ)⊂S(γ)⊂L(γ).但当γ>0时，由文献[3]知F∈Sd(γ) ⟺F∈S(γ).

1 模型与主要结论

在保险公司的日常运营中，由于种种原因，总会有几次发生索赔的时间间隔特殊，不妨假设是前有限次，因此有一些问题就不能按通常的方法来处理.为此建立下述模型，来研究这些情况对我们关心的破产问题所产生的影响.

到时刻t为止的风险过程{S(t):t≥0)}定义为

(3)

(4)

若k≥2,则称上述模型为随机多延迟复合更新模型；若k=1,则称上述模型为一重延迟更新风险模型，即平常所说的延迟复合更新风险模型；若k=0，则上述模型即为普通复合更新风险模型.

(5)

用D+来表示R(N1)-R(k)的分布，令f+,g+分别为R(N1)-R(k)的F-S变换和L-S变换，即

定理1在ρ1>0的多重延迟复合更新风险模型中，若索赔额分布F∈S*,则对任意z>0有

(6)

定理2在ρ1>0的k重延迟复合更新风险模型中，若B<∞,-γ是fD(iλ)的收敛域的左横坐标，若γ>0及fD(-iγ)<1,则下列关系成立D∈S(γ)⟺D+∈S(γ)⟺W∈S(γ)

(7)

(8)

其中C2s=C2,s-1fD1(-iγ)+(W2(0)+gW2(-γ))gG1(cγ)(gG(cγ))-1,s=1,2,…,k,及C20=C2.

定理3在ρ1>0的k的重延迟复合更新风险模型中，若B<∞,-γ是fD(iλ)的收敛域的左横坐标，若γ>0及fD(-iγ)<1,则F∈Sd(γ)⟺K∈S(γ)⟺D∈S(γ)⟺D+∈S(γ)⟺W∈S(γ)

(9)

(10)

2 几个定理

引理1[4]对某个γ≥0,F∈L(γ)当且仅当H(F,γ)≠Φ.

引理5对任意γ≥0,已知μ1(γ)<∞,如果F∈Sd(γ),那么也有K∈Sd(γ).

引理5的证明因为有

(11)

根据重尾族Sd(γ)的定义，便可知K∈Sd(γ).而对v≤x/2,有

(12)

从而由控制收敛定理得

(13)

另一方面，再由F∈S(γ)和控制收敛定理知

(14)

综合(12)式及(13)式就有

(15)

再来证明I2→0.由(14)式可知存在一个ε>0,使得

从而就有

所以

(16)

联合(12)式，(15)式以及(16)式就有(11)式成立，即K∈Sd(γ).

(17)

并且

K∈S(γ)⟺D∈S(γ)

(18)

故(17)式成立，由引理3知H(K,γ)=H(D,γ),从而据引理1有D∈L(γ),那么，再由引理2易见(18)式成立.

3 定理的证明

补救措施：如果在实际施工中遭遇锤头掉落的现象，则需要现场有经验的技术工人用自制的打捞钩打捞，在打捞钩使用前必须仔细检查是否有尖锐突起或者尖利面，以免在打捞时对安全绳造成破坏，造成不可挽回的损失。

所以

W1(x,x+z]=W1(x+z)-W1(x)=

(19)

显然

上述最后一项是因为当F∈S*=Sd(0)时，由引理5可知K∈Sd(0)=S*⊂S，故据控制收敛定理可得

(20)

(21)

(22)

(23)

先看I12，由(22)可知

再看I11,由(21)式有

(24)

定理2的证明我们用数学归纳法来证明，仍沿用前面的记号，则

由引理6，只须证明(8)式中的第一个渐近关系成立.

先证k=1时(8)式成立.已知K∈S(γ),由引理6及文献[7]易知Dj∈S(γ),j=1,…,m.D∈S(γ),D+∈S(γ)及W∈S(γ).注意到此时M2中没有延迟.因此，由D∈S(γ)及文献[7]就有

(25)

任取h∈H(D,γ)=H(W∈,γ),我们用此h将ψ12(x)分解成如下形式：

(26)

则由(25)式，有

(27)

仍由(25)式及fD(-iγ)<∞知，gW2(-γ)<∞.由分部积分，W2∈S(γ),D1∈S(γ),我们有

(28)

联合(27)式和(28)式得

即当k=1时，(8)式成立.

现假设k=s时，(8)式成立，即M中正好有s个延迟，则

(29)

仍由分部积分，W2∈S(γ)及D1∈S(γ),我们有

(30)

再结合(29)式及(30)式，可得

即k=s+1时，(8)式也成立，这就完成了定理2的证明.

定理3的证明在引理5中，已证当F∈Sd(γ)时, 也有K∈S(γ),从而K∈S(γ),再由引理6就得到K∈S(γ)⟺D∈S(γ),根据文献[7]，从而有(9)式成立.

引理6的(17)式进一步说明了(10)式是成立的，因此完成了定理3的证明.

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