部分和有界的级数在Cesaro意义下收敛性的条件

欧阳露莎，刘敏思

(1 中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074；2 华中师范大学 数学与统计学学院，武汉 430079)

1 定义及基本结果

关于级数在Cesaro意义下的收敛性，已有的研究成果如下面定理1.

定理1表明级数在Cesaro意义下收敛比级数的一般收敛适用的范围更广．

由定义1知，级数在Cesaro意义下收敛的问题，实质上就是数列的均值数列收敛问题．虽然级数在Cesaro意义下收敛比级数的一般收敛适用的范围更广，更优越，但它是借助均值数列的收敛性来建立的，其收敛性的讨论自然比一般收敛性问题要困难得多．

文献[2-5]对数列的均值收敛性做了一些讨论，并得到了一些结论：例如，收敛数列的均值数列一定收敛，且极限与原数列的极限相等；当数列为正无穷大或负无穷大数列时，此结论也成立．但当数列仅为无穷大数列时，结论不一定成立，例如，对数列{an}结论不成立，其中：

以上这些结论，只涉及到收敛数列或者无界数列，没有涉及一般的有界数列．

2 有界数列在均值意义下收敛的条件

定理2解决了有界数列均值意义下的一般收敛性问题．

在文献[4,5]中，引进了子列的权重.

下面，再通过进一步建立数列的有限权重分解，来研究有界数列均值意义下收敛性的若干条件，进而部分解决级数在Cesaro意义下收敛性的条件问题．

所以，当n>nN1时，

(2)注意到：

由本定理结论(1)和引理1立即可得．

(3)由本定理结论(1)和(2)，并注意到收敛数列极限的唯一性立即可得．

推论1 设数列{an}为交错数列，即an=(-1)nbn(bn>0)，若{b2n-1}和{b2n}都收敛，记:

证明易知{ank}的权重等于1，由引理1及类似于定理3结论(2)的方法即可得证．

[1]Apostol T M. 数学分析[M]. 2版. 邢富冲，邢 辰，李松洁，等译. 北京：机械工业出版社，2006：166-167.

[2]徐森林，金亚东，薛春华.数学分析(第3册)[M].北京：清华大学出版社，2007：55-61.

[3]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].3版. 北京：高等教育出版社，2001：18-21.

[4]赵玉环，张兆宁.数列算术平均序列的收敛性[J].中国民航学院学报，2002，20(6)：62-64.

[5]吴玲琳，刘世芬.算术平均序列的收敛性[J].中国民航学院学报，1992，10(2)：54-59.