初中数学开放题探析

　　 摘要：本文从代数开放题、几体开放题、综合性开放题三个方面讨论了初中数学开放题的类型和解法以及具体实施时应注意的问题。
　　 关键词：代数开放题；几何开放题；综合性开放题
　　
　　数学开放题指条件不完备，结论不确定，解题策略多样化的题目。由于它具有与传统封闭型题不同的特点，因此在数学教育中有其特定功能。数学开放题教学为学生提供了更多的交流与合作的机会，为充分发挥学生的主体作用创造了条件；数学开放题的教学过程是学生主动构建，积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，发展学生的数感，使学生真正学会“数学地思维”；数学开放题的教学过程也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力；数学开放题教学是应试教育向素质教育转轨的重要体现，是当前数学教育的一个发展潮流。本人平时对初中数学开放题进行积累研究，下面就开放性问题的类型进行归纳，并通过典型实例探讨其解法。
　　一、代数开放题
　　代数开放题包括：数与式开放题、方程开放题、函数开放题三类。
　　数与式的开放题常以找规律的阅读题形式出现，解题要求能善于观察分析、归纳所提供的材料，猜想其结论。方程开放题主要是以方程知识为背景，探索方程有解的条件或在某种条件解的情况，求字母参数的值。函数开放题是以函数知识为背景，设置探索函数解析式中字母系数的值及关系，满足某条件的点的存在性等。下面举一函数开放题对其解法加以探究：
　　例1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像（如图1）所示，问由此图像中所显示的抛物线的特征，可以得到二次函数的系数a，b，c的哪些关系。
　　分析：①a>0；②-=，即2a+3b=0;
　　 ③c=-1；④=-；⑤从而得a=；
　　⑥由②，⑤得b=-。
　　此题是一道典型的“图像信息”开放题，只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论。
　　二、几何开放题
　　这类问题以几何图形为背景，设置探索几何量间的关系或点、线位置关系。
　　例2 （如图2） 四边形ABCD是
　　⊙○的内接四边形，A是的中点，
　　过A点的切线与CB延长线交于点E。
　　（1）求证：AB•DA=CD•BE；
　　（2）若点E在CB的延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？
　　（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）
　　思路分析：此题第（2）小题是一道条件探索性问题。其解法是“执果索因”（如图3）。要得到AB•DA=CD•BE，即要得到=，即要得△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加条件：∠BAE=∠ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FA∥BD，或∠BCF=∠ACD等。
　　（1）证明：连接AC（如图3）∵点A是BD的中点，∴=。∵EA切⊙○于点A，点C在⊙○上，
　　 ∴∠1=∠3=∠2。∵四边形ABCD是
　　⊙○的内接四边形
　　∴∠ABE=∠D ∴△ABE∽△CDA
　　 ∴ = ∴AB•DA=CD•BE
　　（2）解（如图4）：具备条件=（或BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD）等，使原结论成立。
　　此题是一道条件探索性试题。解答这类题目的一般方法是“执果索因”，能画出图形的要尽量画出图形，再结合图形逆向推导直到探索出需要增加的条件。此题要使原结论成立，可探索出的条件较多，从而打破了封闭性问题的“已
　　知——求证”的模式，激发学生的思维积极
　　性，对所研究的问题进行探索，训练了他们
　　的思维的广度。
　　三、综合性开放题
　　此类问题是以几何、代数综合知识为背景，考查分析、推理能力，综合运用知识的解题能力。
　　 例3 如图5，已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，AB为⊙○的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘
　　米/秒的速度运动，动点Q从点C开始
　　沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运
　　动。P，Q分别从点A，C同时出发，当其中
　　一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。
　　求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙○相切、相交、相离？
　　分析：此题考查了在点P，Q运动的过程中，四边形PQCD形状的变化情况，直线PQ与⊙○位置的变化情况。第（1）问要抓住两种特殊四边形的性质特征，第（2）问要从PQ与⊙○相切的关键位置入手，寻求其数量关系。
　　解：（1）∵AD∥BC，∴只要QC=PD，四边形PQCD为平行四边形。此时，有3t=24-t，解得t=6。故当t=6时，四边形PQCD为平行四边形。同理，只要PQ=CD，PD≠QC
　　四边形PQCD为等腰梯形。过P，D分别作
　　BC的垂线交BC于E，F两点（如图6），则
　　由等腰梯形的性质可知：EF=PD，QE=FC=2。
　　∴ 2=[3t-(24-t)]∴t=7。
　　∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。
　　（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙○相
　　切于点G（如图7），过P作PH⊥BC，
　　垂足为H， 则PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。
　　由切线长定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。
　　由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2。
　　化简整理，得3t2-26t+16=0，解得t1=，t2=8。
　　即t=秒或t=8秒时，直线PQ与⊙○相切。
　　 ∵t=0秒时，PQ与⊙○相交；当t==8秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，此时PQ也与⊙○相交。
　　故当t=或t=8时，直线PQ⊙○相切；当0≤t<或8≤t<8时，直线PQ与⊙○相交；当　　本例是一个“动态型”开放题，解这类问题的关键是分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”、“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破。
　　初中数学开放题，思维广阔，可以打破学生的思维定式，消除“模仿解题”的习惯，同时根据学生个性发挥其聪明才智，敢于创新，发散思维及尝试探索的能力。
　　
　　参考文献：
　　[1]胡炯涛.数学教学论[M].南宁：广西教育出版社，1998.
　　 （浙江师范大学数理学院）