初中数学的分类讨论思想研究

　　摘要：分类讨论思想是初中数学重要的思想方法之一，在教学中注重分类讨论思想的培养，对提高学生的数学解题能力及提升学生的数学思维品质都大有益处。本文在归纳分析分类讨论思想核心概念的基础上阐述了分类讨论思想的形成原因、分类原则、解题步骤和解题策略，以期通过研究和实践培养学生的创新精神与探究意识，提高学生的数学成绩与数学能力、形成学生的科学态度与踏实作风。
　　关键词：初中数学；分类讨论思想；解题策略
　　
　　一、问题提出
　　唯物辩证法认为，任何事物、现象、过程，内部的各个部分、要素、环节是相互联系、相互作用着的。而要揭示事物的本质属性及其发展规律，常常要使用人们在生产生活及科学研究中最为基本的思想方法——分类讨论思想。如我们时常要计算一堆不同面值纸币的总值，一般会先根据面值的不同将这些纸币分成一叠叠的，再分别计算出每叠纸币的值，最后合计出这堆纸币的总值。
　　法国数学家笛卡尔曾说过：“把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。”在运用分类讨论思想解决某些初中数学问题时，常常要依据问题的本质属性中的相同点和相异点，将其分成若干个子问题，通过每个子问题的解决达到整个问题的解决。分类讨论思想在初中数学中应用极为广泛，中考试题中也经常涉及此类问题，该种数学思想对于提升学生分析问题、解决问题的能力、培养学生数学思维的严谨性、完整性、有序性、连贯性都很有帮助。但遗憾地看到，学生对于分类讨论思想掌握的并不理想。学生不是不知道要分类讨论，就是分类讨论时遗漏或者重复，因而深入研究分类讨论思想很有现实意义。
　　二、核心概念
　　所谓分类讨论思想，就是当所要研究的问题的对象难以统一分析，或推理证明之，有通过分组的形式才能准确地表示出来时，就需要按照一定的标准将问题分为全而不重、广而不漏的若干类子问题。再对每一类子问题进行研究，在逐一解决每一类子问题的基础上分析归纳出整个问题的结果。
　　根据集合论的观点，分类讨论就是将问题集合A分为有限个子问题集合A1，A2，A3…An，只要解决每一个Ai（i=1，2，…n），问题集合A也就得到了解决。
　　三、形成原因
　　要熟练利用分类讨论思想解决数学问题，首先要弄清“为什么要分类讨论”，这样才能准确地对所要研究的问题集合A进行分类，才能更好地解决问题。经研究分析，笔者认为初中数学中的分类讨论的成因大致有以下几个：
　　1. 分类定义的数学概念
　　如绝对值的概念：正数或零的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数。
　　2. 分类概括的运算性质
　　如不等式的性质：两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变。
　　3. 分类判断的数学公式
　　如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式b2－4ac的取值情况的不同使得相应的一元二次方程根的个数产生了不同。
　　4. 无法确定位置关系
　　如点与线、线与线、点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系的多样性直接导致了所绘制的几何图形的不同。
　　5. 存在多种题设的问题
　　由于有些数学概念定义时存在不确定性，故而需要分类讨论。如“已知一个等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，求该三角形的周长”。
　　6. 存在多个结论的问题
　　在解决函数问题时亦常需分类讨论，如“在函数y=的图像上存在一点A，过点A作AB⊥x轴于B。若△AOB的面积为6，求此函数的解析式”。
　　7. 含参数的问题
　　若问题集合A含有参数，而这些参数的取值是无法确定的，则要分类讨论。如“已知关于x的方程mx2－（2m－1）x＋m＝0，问当m为何值时，该方程有实根。”
　　8. 部分实际问题
　　实际生活中的问题往往也存在着多种情形，也要分类讨论。如“王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40 m，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15 m（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积”。本题中等腰三角形的形状未知，要分锐角三角形、钝角三角形两类讨论求解。
　　四、分类原则
　　1. 相称性原则
　　分类应当相称，分类后问题集合A的每一个子问题集合Ai（i=1，2，…n）外延的并集应当与问题集合A的外延相等，即对于问题集合A及每一个子问题集合Ai（i=1，2，…n），需要满足A1∪A2∪A3…∪An=A，也就是说分类时不能遗漏。如把整数集合Z分为正整数集合Z+和负整数Z－，遗漏了零，显然不符合相称性原则。
　　2. 互斥性原则
　　利用集合论的观点来解释，对于以上的问题集合A及每一个子问题集合Ai（i=1，2，…n），除需满足相称性原则外，还需要满足Ai∩Aj=?覫（i=1，2，…n；j =1，2，…n，且i≠j），即在进行分类每个子问题彼此应该互不相容，分类讨论时要避免重复。如学生往往把三角形分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形三类，这就不正确了。因为等边三角形是特殊等腰三角形，等边三角形是等腰三角形的子集。三角形按边分应该分为不等边三角形和等腰三角形两大类，等腰三角形又可以分为两边相等的等腰三角形和等边三角形两小类。
　　3. 层次性原则
　　由于研究问题的不同，分类也有一次分类与多次分类之分。一次分类是指对问题集合A只进行一次分类，而多次分类是指对于有些子问题集合Ai还要将其看做是母集合继续分类，如前文将三角形按边就进行了二次分类。
　　4. 同一性原则
　　有时对于问题集合A进行分类时既可以采用甲种分类标准，也可以采用乙种分类标准，但是采用何种分类方法，每次分类时都应该按照同一个标准进行，不能多种分类方法交叉并行。如将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形就是采用了按边分、按角分两种分类标准，既混淆了概念，还使问题更加复杂，难以解决。
　　要特别强调的是使用以上原则将问题集合A分类成的子问题集合Ai应当是学生熟悉、便于解决的问题，这样才能通过各子问题集合Ai的解决，最终达到原问题集合A的解决。
　　五、解题步骤
　　由于问题集合A可以分解成若干个子问题集合Ai，所以A与Ai就形成了从属关系。问题集合A包含子问题集合Ai，一定条件下Ai又可以转化成A。因而利用分类讨论思想解题是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，其解题策略为“化无为有、化整为零、化难为易、化繁为简，再逐个击破，最后聚零为整”的。
　　教师首先要充分利用日常生活具体实例中及教材中的现有素材向学生讲清“什么是分类讨论”；其次可以举一些较为简单、学生易于接受的数学问题，通过启发引导，讲明“为什么要分类讨论”；然后鼓励学生积极讨论、归纳总结“如何分类讨论”；最后进行强化练习，增强学生运用分类讨论思想解题的意识，逐步提高和完善学生“正确分类讨论”的解题能力。运用分类讨论思想解题的一般步骤为：
　　（1）明确需要分类讨论的问题集合A及其范围；
　　（2）依据分类原则选择科学合理的分类标准将A进行分类，确定子问题集合Ai；
　　（3）逐步研究解决每个子问题集合Ai；
　　（4）归纳总结，得出整个问题集合A的完整结论。
　　六、解题策略
　　
　　数学家G·波利亚曾说过：“解题过程无不蕴涵着数学思想，解题的方法技巧是数学思想下的方法技巧，数学思想是解题活动的指导思想。”分类讨论思想就是在解题过程中形成和发展的，但由于学生心智发展的限制及教师讲解训练的不足，初中生分类讨论的意识不强、分类讨论的标准掌握不好、分类讨论时较为盲目随意，解决此类问题时较为困难。所以教师教学要适时渗透分类讨论思想，并通过多种数学活动归纳总结、强化应用。
　　笔者认为在初中数学教学中引导学生运用分类讨论思想解决问题的策略有以下几点：
　　1. 审清题意
　　对于存在多种题设和存在多个结论的问题，教学时务必要使学生养成认真审题的习惯，教师可以要求学生读题时在关键词句上加着重号，先分析出题目在蕴涵的分类讨论的因素再着手解题。如“已知一个等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，求该三角形的周长”。本题中由于等腰三角形的腰与底边不明确，故需分类讨论。又如“在函数y=的图像上存在一点A，过点A作AB⊥x轴于B，若△AOB的面积为6，求此函数的解析式”。由于平面直角坐标系中线段的长、图形的面积是都是正数，而利用这些正数去确定点坐标时还要考虑各象限的符号特征，故亦需分类讨论。
　　2. 逐步渗透
　　《全日制义务教育数学课程标准》（实验修订稿）中指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”可见教师在日常教学时不能仅仅局限于数学知识的讲授，还要注意数学思想方法的渗透。通过循序渐进地引导和示范，使学生在数学活动中逐步感悟、接受、运用分类讨论思想解题。
　　在学习负数时，教师可让学生判断“－a一定是负数”的正误，引导学生分类讨论；在学习绝对值后，教师可以请学生化简“|a|”“|a-1|”；讲了二次根式后，就可以解决类似化简“”“”的问题；在掌握一次函数相关知识的基础上学生就可以解决如“求函数y=|x-1|+|2-x|的最小值”的问题了。这样通过步步深入、层层递进的渗透，学生的分类讨论能力一定会显著提升。
　　3. 全面分析
　　随着数学学习难度的加深，学生运用分类讨论思想解题的能力也会参差不齐。为了弥补这种ViK/YfKoR37Vh1M3KFBNJ9AsAMdlF1pWEKUDm+N0P1I=差异，教师不仅要引导学生讨论、分析、归纳出初中数学阶段有哪些分类定义的数学概念、分类概括的运算性质、分类判断的数学公式，还要向学生讲明分类讨论的四大原则，学会不重不漏、合理有序地分类。
　　如“已知关于x的方程mx2－（2m－1）x＋m＝0，问当m为何值时，该方程有实根”就是“量变引起质变”的典型问题。本题需要分类讨论的原因一是题目中含有参数m；二是当m≠0时，该方程为一元二次方程，还需利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况。同时本题分类时还遵循了“层次性原则”：先分m＝0，m≠0两大类讨论；当m≠0还要分b2－4ac＞0，b2－4ac＝0，b2－4ac＜0三小类进行讨论。
　　4. 动手操作
　　无法确定位置关系的数学问题常常涉及几何图形、函数图像等知识，综合性非常强，学生解决起来较为棘手。教师务必要先使学生明确题目的已知条件，再通过动手操作帮助其分析归纳出题目中可能存在的位置关系，最后画出所有符合条件的图形解题。
　　如“在劳技课上，老师请同学们在一张长为17 cm，宽16 cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上），请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。”
　　通过动手操作、画图分析可知本题需分三种情况解决：（1）如图1，等腰三角形的两腰在长方形的边上，AE＝AF＝10 cm；（2）如图2，等腰三角形的一腰在17 cm长的边上，AE＝EF＝10 cm；（3）如图3，等腰三角形的一腰在16 cm长的边上，AE＝EF＝10 cm。
　　分类讨论思想几乎涉及了初中数学的每个章节，是贯穿整个教学内容的重要的数学思想方法之一。它以唯物辩证法的“整体与局部区别与联系共存”的观点、集合论中“集合与子集合”的关系作为指导思想，运用了多种数学方法及技巧，化整体为局部、化烦琐为简单，将所要解决的数学问题“分而治之，逐个击破”。
　　数学思想是数学的灵魂，掌握数学思想就是掌握数学的精髓。通过对分类讨论思想的渗透与培养，既可以提高学生的解题能力、增强学生的逻辑思维能力、提升学生的数学思维素养，又可以为学生后续进入高中的学习打下坚实的基础。授之以鱼，不如授之以渔。教师教学时不应只拘泥于数学成绩的提高，而忽略了对各种数学思想的培养与训练。在日常的教学中要立足于知识、着眼于思想，有意识地凸显数学思想的教学同时还要注意多种数学思想的综合运用，长此以往，定会收到事半功倍的教学效果。
　　
　　参考文献：
　　[1]（美）M·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2002．
　　[2]肖毅.分类讨论[J].数学通讯，2000（9）.
　　[3]]曹贤鸣，阮孟国.分类讨论及其应用[J].中学数学教学参考，2002（8）.
　　[4]党中.分类讨论的几点思考[J].中国新技术新产品，2010（15）.
　　（徐州市第十三中学）