高等数学的概念与定理的教学

　　摘要：本文就高等数学的概念与定理如何进行教学才能有利于学生理解与掌握，谈谈体会与做法。
　　关键词：高等数学；概念；定理
　　
　　高等数学具有概念和原理高度抽象，推理和判断的逻辑性强，应用范围广泛和灵活的特点。教师在教学中应该抓住这些特点，在充分了解学生实际的基础上，钻研教材，引导学生找出一条容易理解、掌握和应用的简捷途径，并总结出规律，使学生牢固地、灵活地记住所学的知识，这样才真正能使学生获得较好的学习效果。本文从下面几方面来谈谈如何把抽象性、系统性以及应用广泛性都很强的数学，讲授得较为具体，易于理解，以及如何开拓学生思维，使学生能灵活掌握所学的数学知识，从而提高学生能力。
　　一、利用几何图形来解释数学概念
　　利用几何图形来帮助学生理解和记忆概念，可使数形结合，对发展学生的想象能力很有帮助。在此过程中，把数学的各个分科有机地联系起来，对开拓思维，灵活运用也起着重要作用，同时也使学生明确各科之间的辩证关系。比如:极限概念是高等数学中最基本的概念，也是最抽象的概念。如果教师只是定量地讲解，学生很难掌握与理解。倘若教师结合函数图像做定性分析与研究，让学生结合函数图像来了解当x→∞或当x→a时，函数是如何变化的，即函数的极限是什么，那么，学生就非常容易地理解极限的概念了。定积分的概念是高等数学中最长的概念，如果开始就讲这个概念，学生就会如入雾里，不明白“做乘积、求和、再求极限”到底是怎么回事。教师结合教材，利用函数的几何图形，从几何意义先来分析“乘积”是什么，为什么“求和”，求什么样的自变量变化趋势下的“极限”，学生就一目了然，接着再讲定积分的概念，也就容易理解与掌握了。
　　二、利用具体事例来讲解概念
　　讲课时从具体的fF3PfNnw/oqKiMzHtl1l4t5MIpT3b4otdSP0pBgbdr4=事例讲起，引出概念，可使学生迅速理解所学知识，并且可以激发学生学习的兴趣。如“导数就是函数的变化率”这一概念太数学化了，教师在引入导数的概念时，可以先从分析物体运动的平均速度的求法、即时速度的求法开始讲解，学生就容易接受了。讲解微分概念时，先从求面积增量这一大家都很熟悉的概念讲起，自然引出线性主部的概念， 进而来定义微分。再如，定积分概念从求曲边梯形的面积引出，二重积分从求曲顶柱体的体积引出，三重积分从求曲顶柱体的质量引出等等。这样学生容易理解，又可激发他们的学习兴趣，同时也使学生了解了概念的应用。
　　三、利用对比来区别概念
　　对比记忆可以避免记忆的混淆。只有记忆清晰，应用才会有把握。教师在讲授概念时，应该多用对比方法，区分比较概念。高等数学中的相似或相近的概念很多，如导数与微分、偏导数与全导数、内积与外积、第一类曲线积分与第二类曲线积分、第一类曲面积分与第二类曲面积分，梯度、散度与旋度等等。教师通过对比讲解，使学生分清它们的区别与联系，这样就便于学生理解与记忆。
　　四、利用反例来讲解定理、公式与性质
　　高等数学中的公式、定理和法则的条件非常重要，学生在学习中，如果只记结论，忽略条件，往往就会出错误。教师在讲解这些公式、定理时，就应从学生记忆理解的角度，考虑到这些。在讲授过程中，既要从正面证明这些命题，又要充分利用反例来加以强调。这样既可以增强学生的记忆力，又培养了学生的逆向思维，锻炼了学生的推理论证能力。如“有限个无穷小量的和仍是无穷小量”是一个真命题，它是无穷小量的一条性质。教师在讲这条性质时，应该举反例来强调命题中的“有限”二字是不可缺少的，也就是说“无穷多个无穷小量的和是无穷小量”是一个假命题。又如，连续、可导与可微三个概念是高等数学中的基本概念，三者之间的相互关系，两两之间有差别，一元函数与多元函数也不一样，关系很复杂。一般教材有如下结论：（一元函数）可导函数必连续，可导与可微等价；（多元函数）可微函数必连续；可微函数必可导。在讲授时要通过反例，阐明上述结论的逆命题未必成立。即(一元函数) 连续函数未必可导，（多元函数）可导函数未必连续，连续函数未必可微，可导函数未必可微即可导与可微不等价。通过反例教学，非常简洁明了地把概念的关系弄清楚了，教学效果很好。
　　五、利用发展和联系的观点来串联公式与法则
　　教师在讲完一个单元或者一章甚至一本书后，要用发展和联系的观点把所学内容的知识尤其公式法则串联一下， 这样可以减轻学生的记忆压力，缩短学生的理解记忆过程，也可培养学生的辩证唯物主义观点。也只有这样，书才会越念越薄，越读越精。导数的运算，就有四则运算法则、复合函数的运算法则、隐函数的运算法则等16个基本公式，微分运算也有与之相对应的法则和16个基本公式。学生如果死记这些公式和法则，就比较困难。教师在讲解时，既要把两个概念的区别讲清楚，又要把二者的联系交代明白。尤其应该帮助学生分清运算法则与公式上的区别和联系，使学生明白二者的公式与法则可以互推。于是，两方面的公式和法则，就可以合成一方面来记忆，减轻了学生的负担。再如，求不定积分的运算，基本公式有近二十个，这也给学生记忆带来了很大的困难。教师在讲授时，要让学生知道不定积分运算与微分运算是互逆的运算，由于有了求微分运算这个基础，所以对不定积分运算的公式的记忆也就容易了。这样，既让学生从心理上减轻了畏难的情绪，又减轻了学生学习的负担。
　　六、利用综合性的练习题加深对所学知识的理解
　　综合性的练习题带有总结性质，它能把所学知识连贯起来。教师在每个单元讲完后，应该多讲一些综合性练习题，让知识融会贯通起来。如在讲完函数单调性、凹凸性、极值的判定与求法后，可以举一些研究函数性态的综合性例题；在讲完零点定理、罗尔定理及单调性后，可以讲些研究方程唯一根的综合性题目。这样既可以把前后内容贯穿起来，又能便于学生掌握、应用所学知识。
　　
　　（山东科技大学泰安校区公共课部）
　　（基金项目：山东科技大学立项课题资助项目-2010）