解题后的反思不容忽视

　　摘要：反思是数学的重要活动，它是对自己的思维过程和结果进行再认识和检查的过程。解题后，要对整个解题活动进行反思，即反思解题方法、反思习题中所涉及的知识点、反思解题思路的严密性、反思解题规律、反思有无错解、反思所解习题能否拓展、反思有无变式等。
　　关键词：反思；解题活动；反思的内容
　　
　　弗赖登塔尔强调：“反思是数学的重要活动，它是数学活动的核心和动力。”同时，《数学课程标准》也指出：“让学生在观察、操作、猜测、交流与反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程。”因此，在学生学习过程中，反思环节不可忽视。
　　反思是解题后对整个解题活动的反思，它包括对题意的理解、习题涉及的知识点、解题思维程序、解题结果的表述、解题所用的方法和技巧、解题过程中的失误等的反思。下面谈谈几点看法。
　　一、反思解题方法
　　许多题重在考察学生思维的全面性、深刻性和灵活性。因此一题可能有多种解法和技巧，在解题时不能仅仅满足于解决问题，更要养成解题后反思的习惯，培养学生思维的严密性，让学生体验成就感，激发学生思维的创造性。
　　例1 设抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，求抛物线的解析式。
　　解：∵y=x2-4x+c= x2-4x+22- 22+c=（x-2）2-4+c， ∴图像的顶点坐标是（2，-4+c）。
　　∵顶点在x轴上∴－4+c=0，即 c=4，因此y=x2-4x+4。
　　反思：该题有无其他方法？哪种解法更简便？学生讨论、思考，要求c的值可以利用顶点公式；也可利用对称轴求出顶点坐标，再代回解析式求值；等等。同学们从不同角度考虑问题，摆脱固定思维模式，在不断的训练中完善自己的思维过程，使自己的思维更加严密。
　　二、反思习题中所涉及的知识点
　　设置习题的目的是为了巩固所学知识，通过解题回顾习题中所涉及的知识点、思想方法及其内在联系，提高分析问题和解决问题的能力。
　　例2 如图，等腰梯形ABCD
　　中，AD∥BC，AC⊥BD且AD=3，
　　BC=7，求BD的长。
　　分析：读题识图后，明白要求BD的长必须把它放在特殊的三角形中，故过D点作AC的平行线交BC的延长线于E点，构造等腰直角三角形解决，由平行四边形ACED推出等腰直角三角形再利用勾股定理求出BD的长。
　　反思：本题考察哪几个知识点？梯形常见的辅助线的做法、平行四边形的判定和性质、等腰梯形的性质以及勾股定理。
　　在这个环节中，学生既掌握了这几个知识点，又理解了知识间的联系，使其达到了更高层次，有一种“会当凌绝顶”的感觉。
　　三、反思解题思路的严密性
　　不少学生眼高手低，拿到一道习题乍看简单，涉及的知识点很熟悉，解题方法也较明确，思维只停留在肤浅的层面，忽视某些公式、法则或性质的使用范围及它们的限制条件而导致错误。
　　例3 已知关于x的一元二次方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不等的实数根，求k的取值范围。
　　错解：由题意得Δ>0，即[-2（k+1）]2-4k（k-1）>0，∴k>-1/3
　　反思：应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意二次项系数不等于0，才能使用公式，这点很容易被忽略。本题应考虑两个因素：Δ>0且k≠0。
　　四、反思解题规律
　　做完题后，反思一下所用方法有无规律可循，解题方法是否严谨、有新意，让学生通过一道题的求解，引出一类题的解法，更加有效地强化解题能力，提高解题效率，激发学生的创新意识。
　　例4 在平面直角坐标系中，点A（-1，2）关于x轴的对称点的坐标是______，关于y轴对称的点的坐标是______，关于原点对称的点的坐标是______。
　　反思：解题后，找出平面直角坐标系中点的对称规律，什么地方发生变化；怎么变的；什么地方没发生变化。然后再取几个同类练习进行验证、巩固，这样就能知一题会一类了。
　　五、反思所解习题能否拓展
　　例5 在ΔABC中，BC=a，AC=b，AB=c，试根据下列各组a，b，c的值确定它是否是直角三角形。
　　（1）a=6，b=8，c=12；（2） a=6，b=8，c=10；（3）a=6，b=8，c=5。
　　分析：（1）由a2+b2=62+82=100，而c2=144，故a2+b2＜c2，此ΔABC不是直角三角形
　　（2）由a2+b2=62+82=100，而c2=100，故a2+b2=c2，此ΔABC是直角三角形
　　（3）由a2+b2=62+82=100，而c2=25，故a2+b2＞c2，此ΔABC不是直角三角形
　　提问：猜测⑴，⑶可能是哪种三角形？在讨论、反思的过程中学生不仅掌握了勾股定理及其逆定理，而且在原有的基础上又拓展了，得出当a2+b2＜c2时三角形是钝角三角形；当a2+b2＞c2时三角形是锐角三角形。在学生了解新知的同时，也运用了转化的思想，将非直角三角形转化成直角三角形，使学生的知识面加深拓宽了。
　　六、反思有无变式
　　为了发挥例、习题的作用，解题后要适时反思，这需要教师在解题后进行变式训练设计，形成由易到难、简单到复杂、具体到抽象、封闭到开放的训练程序，使学生逐步加深对数学概念的理解以及对数学定理和方法的掌握。例如学习轴对称知识时，作一个三角形的轴对称图形，我先让同学们作对称轴经过三角形一边的，后作对称轴经过三角形的一个顶点的，再让作对称轴远离三角形的，然后再反思如何作四边形的轴对称图形，对称轴与四边形有哪几种情况。通过这一组变式题设计，既让学生熟练了三角形、四边形的轴对称图形的画法，又让学生运用了类比的思想，从而提高了作图能力。
　　综上所述，学生在平时解题的过程中养成解题后反思的习惯，善于在反思上下工夫，既有利于培养学生自主学习的能力，学会审题、学会检查、学会多角度多层次地思考，又可提高他们的解题效率和正确率，更有利于培养学生思维的灵活性和创造性，形成理性思维。因此，在数学学习中要养成解题后反思的习惯，完善解题过程，提高学生的学习能力，更好地学好数学。
　　
　　参考文献：
　　[1]王胜利.漫谈教学中的回头看[J].教育艺术，2005(12).
　　[2]李海红.解题后反思什么[J].数学大世界，2006(7～8).
　　[3]王飞君.突破题海战术，重视解题后的反思[J].中国数学教育，2007(4).
　　 （邳州市中等专业学校）
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