小学数学中的几种思想方法及应用

　　《全日制义务教育数学课程标准》在“双基”的基础上提出了“四基”：即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。那么，小学数学中有哪些基本思想呢?
　　数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
　　小学数学中常见的基本数学思想方法有：转化思想、集合思想、数形结合思想、函数思想。符号化思想、对应思想、归纳思想、模型思想、统计思想、极限思想等。下面谈谈几种常见的思想方法及其应用。
　　一、集合的思想方法
　　集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
　　如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边形集合等。
　　二、对应的思想方法
　　对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
　　如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
　　三、数形结合的思想方法
　　数和形是数学研究的两个主要对象，数寓不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方而复杂的形体可以用简单的数量关系表示。
　　“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问--题时常用的方法。
　　例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
　　四、函数的思想方法
　　我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。
　　函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好地渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。
　　五、极限的思想方法
　　事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
　　现行小学教材中还有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数…‘奇数”“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3＝0．333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时。可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
　　六、化归的思想方法
　　化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得解决。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助的。任何数学问胚的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。我们实施教学时，也经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。
　　如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法；异分母分数加减法化归为同分母分数加减法；异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等；在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。
　　七、归纳的思想方法
　　在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可以由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
　　如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就运用了归纳的思想方法。
　　八、符号化的思想方法
　　在全球信息化，科技高度发展的时代，符号思想在世界得到广泛交流和重视。数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。人教版教材从一年级就开始用“口”或“()”代替变量x，让学生在其中填数。例如：l+2=口，6+()=8，7=口+口+口+口+口+口+口；再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个?要学生填出口口=口(个)。在四年级上册教材“角的度量”单元中，介绍角通常用符号“∠”表示；角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。
　　九、统计的思想方法
　　在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。
　　十、数学模型思想方法
　　所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
　　如四年级上册教材在引导学生探究三位数乘两位数运算中的数量关系时，已初步凸显模型化的数学思想方法。如第56页第6题，“小强每天早上跑步15分钟，他的速度大约是120米，分，小强每天大约跑步多少米?”教学时，应注重让学生感悟速度、时间、路程之间的数量关系，经历将运动中的具体问题抽象成数学模型“速度×时间=路程”的全过程。让学生在“解决具体问题一抽象数学模型一解释并说明模型一再用模型解决问题”这样一系列的数学活动中，充分运用观察、比较、分析、综合、概括，建立初步的模型思想。
　　小学数学除渗透运用了上述各数学思想方法外，还渗透运用了转化的思想方法、假设的思想方法、比较的思想方法、分类的思想方法等。在教学中，教师既要重视数学知识、技能的教学，又要注重数学思想、方法的渗透和运用，这样有助于学生数学素养的全而-提升，有助于学生的终身学习和发