立足课堂教学提高学生的数学能力——以柯西不等式一课教学为例

李洪岩

（大连市第八中学，辽宁 大连 116021）

立足课堂教学提高学生的数学能力
——以柯西不等式一课教学为例

李洪岩＊

（大连市第八中学，辽宁 大连 116021）

以柯西不等式为例，探讨了立足课堂教学、提高高中学生的数学能力的策略。

高中数学；柯西不等式；课堂教学；数学能力

在目前大力提倡素质教育、创新教育的形势下，高考的考题也发生了很大的变化，从“知识立意”到“问题立意”，再发展到“能力立意”，一味的题海战、满堂灌已不适应时代的要求。只有立足课堂，实施有效教学，才能收到事半功倍的教学效果。如何才能做到立足课堂教学，提高学生的数学能力呢？

教师在教学中首先要根据教学条件和学生的学习实际确定教学内容范围和难度要求，教学目标设置要科学、合理，有针对性；要为学生创设宽松和谐的学习环境，使学生在学习和探究过程中不但学到知识，掌握技能，还能够得到丰富的情感体验。要在教学中注意渗透数学思想方法，教会学生从数学思想方法的高度去分析数学问题。要创设问题情境，培养学生的问题意识和质疑精神。要以学生为中心，注重学习过程中学生的感受和体验以及思维方法的学习和思维水平的提高，使其在主动积极地探索活动中实现创新和突破，提高悟性和数学素养。关注学生学习的结果，更要关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度。

如何落实上述理念，有效进行高中数学教学，笔者以柯西不等式一课为例进行探讨。

首先，创设问题情境。

师：什么是数学的心脏？什么又是数学的灵魂？

一学生回答：数学问题是数学的心脏，而思想方法是数学的灵魂。

师：回答的很好。前天上竞赛课时有位同学问了老师一个数学问题，请这位同学把问题写在黑板上。

学生展示问题。

让学生思考片刻。

师：要想解决这个问题我们的知识储备还不够，学完本节课同学就能够解答。我们先解决一个简单一点的问题。

其次，进行问题探究。

不久，就有学生跃跃欲试了，但大部分学生还在紧张地运算。稍等片刻，请学生站起来讲解。

学生利用解析法证明了这个不等式。

师：很好，利用分析法很容易给出证明，这是证明不等式的基本方法之一。

新Bobath建立在传统Bobath基础之上，在理论方面有运动控制理论、可塑性理论、运动再学习理论，身体图式理论，生物力学、运动发育等为依据。随着康复治疗不断发展完善中，新Bobath技术发展更新为影响张力性姿势、诱导姿势模式及活动性负重、改善核心稳定、近端稳定性、选择性运动、触变性、关健区及任务解决型方法等治疗技术,体现了对运动控制障碍的基本技术不同。

证明法1（分析法）：

师：证明不等式还有什么基本方法？

学生想到了综合法、比较法和向量法。

证明法2（综合法）：

师：好样的。简洁、明了，很好。方法4利用向量构造几何图形证明更简洁。同学们再思考一下，除了构造几何图形还可以利用哪些知识证明？

证明法5（构造函数法）：

师：好。我们刚才证明的不等式就是很有名的柯西不等式（二维形式）。（写板书）

再次，拓展思维。

师：我们学习数学切忌就题解题，要重视一个概念、一个知识、一个性质、一类题目的多变、转换、创新，这样才能使思维活动不局限于小范围内，不受思维定势束缚。哪位同学能将上述命题加以推广，得到一个更一般的命题，而使已知预备命题是推广命题的一个特例？

经过片刻思考，学生举手发言。

师：这是柯西不等式几维形式？

学生异口同声回答三维形式。

师：谁会证明？

师：很好。大家都理解了吗？（看到学生都点头，稍顿。）构造几何图形证明是明智选择，很简洁。还可以用构造二次函数法证。（当然预备命题的证明其他方法都可以，但不如构造法。）

学生：老师，我的问题是不是现在可以解决了？

师：对。接下来我们一起来解决这个问题。

该同学的解答既简洁又准确，得到同学们的充分肯定。

最后，反思构建。

随着柯西不等式二维三维形式的解决与应用，特别是上一个问题的解决，极大地调动了学生的学习积极性。

师：柯西不等式还有更一般性的推广吗？

生：定理（一般形式的柯西不等式）

∴ 由（1）（2）得，对一切n∈N＋不等式都成立。

生：可用构造法证。

一般形式的柯西不等式应用同学们课后研究，下节课我们一起交流。

柯西不等式案例教学是逐层递进的，每一阶段的实施都是另一阶段实施的基础，而每一阶段又都有各自的具体目标。通过创设问题、授新设疑、质疑问题、论争辩难等手段，以授人以“渔”、反思建构、竞争合作为具体目标，步步为营，逐层推进，最终实现学生数学能力的快速提高。本课教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为柯西不等式的“发现者”和“创造者”，切身感受发现和创造的苦与乐，较好地落实了知识目标、能力目标、情感目标，为今后的定理教学提供了一些借鉴，奠定了一定的基础。创设数学情境是教学的基础环节，教师要对教学内容、教学目标和学生的身心特点、知识水平等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境是创设情境的常用方法之一。柯西不等式具有广泛的应用价值，故本课从学生提出的问题出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于数学学习生活。学生身边的问题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要善于观察和研究，便不难发现生活中有不少可用的素材。

柯西不等式案例教学主张以问题为主线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，引导学生提出具有一定水平、具有较高层次的问题。教学实践表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，还要使“问题”具有诱导性、启发性和探索性，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平。这就需要教师一方面鼓励学生大胆提出问题，另一方面要妥善、恰当处理学生提出的问题。要把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识、提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

G633.6

A

1008-388X（2011）04-0035-04

2011-10-09

李洪岩（1963-），男，辽宁大连人，中学高级教师，特级教师。

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