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一类超线性离散薛定谔系统的基态解*

2011-12-17周阳锋沈自飞

关键词:薛定谔基态有界

周阳锋, 沈自飞

(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004)

0 引言

本文研究离散薛定谔系统

基态解的存在性,即使得系统(1)相应的能量泛函取得最小值的解.式(1)中:-Δun=un+1+un-1-2un是一维空间的离散拉普拉斯算子;给定的序列{εn}关于n是k-周期的.研究系统(1)的动机来自于下面的向量值非线性薛定谔方程:

从而对向量值非线性薛定谔方程的研究转换成对方程

的研究,这是一个哈密尔顿型的离散薛定谔系统.考虑

的情形,其中

对离散薛定谔系统的研究引起了不少数学家的兴趣,因为它为很多物理问题提供了一个很好的数学模型[1-2].文献[3]得到了系统(1)在Ambrosetti-Rabinowitz条件下有无穷多解的结论.

本文主要考虑不含Ambrosetti-Rabinowitz条件时离散系统(1)基态解的存在性问题.假设εn,f,g满足如下条件:

(V0)εn关于n是k-周期的,且0在-Δ+εn的谱间隙中;

(H1)f(n,s),g(n,s)关于 s∈R 连续,关于 n 是 k-周期的;

(H2)存在 C >0,p,q∈(2,+∞),使得|f(n,s)|≤C(1+|s|p-1),|g(n,s)|≤C(1+|s|q-1);

(H3)当|s|趋于 0 时,关于 n 一致有 f(n,s)=o(|s|),g(n,s)=o(|s|);

本文的主要结果是:

定理1 在(V0)和(H1)~(H5)条件下,系统(1)至少有1个基态解.

1 变分框架

在希尔伯特空间E=l2×l2上考虑泛函

式(3)中:(·,·)是普通的 l2内积;A=-Δ + εn;z={zn}={un,vn}∈l2×l2.

为了方便,记l2:=l2×l2,相应地记ls:=ls×ls,s∈(2,+∞).E 中范数记作‖·‖,显然 Φ(z)是一个在E中定义良好的C1-泛函,系统(1)可以看成泛函Φ相应的Euler-Lagrange方程.

引理 1[3]若{εn}关于 n 是 k-周期的,即 εn+k= εn,则

1)A是有界自伴算子;

2)σ(A)=σe(A)⊂R(-a,a);

3)σ(A)关于0对称,即σ(A)∩(-∞,0)=-σ(A)∩(0,+∞).

由引理1可知E有如下的正交分解:

其中,E+(E-)是A在E中正(负)谱空间.从而(Az,z)=‖z+‖2-‖z-‖2,泛函(3)可写成

式(4)中

设希尔伯特空间E有正交分解E=N+⊕N-,其中N⊂E是E的一个闭的可分子空间.设z=v+w∈E=N⊕N⊥,满足 v∈N,w∈N⊥.定义|z|2w=|v|2w+‖w‖2.特别地,若 zn=vn+wn有界,zn在|·|w中弱收敛到z,则vn在N中弱收敛到v,wn在E中强收敛到w.记Br(E)={z∈E|‖z‖≤r},Sr(E)={z∈E|‖z‖ =r};令 E=E+⊕E-,z0∈E+满足‖z0‖ =1,N=Br(E+)⊕E-;设 M:={z=sz0+z-| ‖z‖≤r,s>0}满足 s0z0∈M,s0>0;令 Q:={z=sz0+z+|z+∈N⊥,‖z0‖ =s0,s >0};Γ:={h|h:[0,1]×M→E}是|·|w-连续的,h(0,z)=z,Φ(h(s,z))≤Φ(z),∀z∈M.任意(s0,z0)∈[0,1]×M,存在|·|w-邻域U(s0,z0),使得{z-h(t,z)|(t,z)∈U(s0,z0)∩([0,1]× M)⊂Efin}.其中,Efin是指 E 的有限维子空间.文献[4]给出的定理在本文的证明中起着重要作用.

引理2[4]记 Φλ(z):=I(z)-λJ(z)∈C1,z∈E,∀λ∈[1,2],假设:

1)J(z)≥0;

2)若‖z‖→∞,则I(z)→∞或J(z)→∞;

3)Φλ是|·|w-上半连续的,Φ'λ在E上是弱序列连续的,且Φλ将有界集映为有界集;

则对几乎所有 λ∈[1,2],存在{zn},使得

其中

2 定理1的证明

考虑

理2 中的条件1)和2)成立.若关于|·|w范数 zm→z,Φλ(zm)≥a,则 z+m→z+,z-m⇀z-,从而 zm,n→zn对几乎所有n∈Z成立.由Fatou引理得Φλ(z)≥a,这意味着Φλ是|·|w-上半连续的.由文献[4]得Φ'λ在E上弱序列连续且Φλ将有界集映为有界集.为了应用引理2,只需验证引理2中的条件4)成立即可.

引理3 在条件(V0)和(H1)~(H5)下,有如下结论成立:

1)存在 ρ>0,使得 κ:=inf Φλ(S■(E+))>0;

2)对任意给定的 z0∈B1(E+),存在 R > ρ> 0,使得 sup Φλ(∂M)≤0.

证明 1)不失一般性,不妨假设p<q.由(H2)知,对任意ε>0,存在Cε>0,使得

从而对任意z∈E+,有

这就导出了矛盾,从而1)成立.

由F(n,s)>0,G(n,s)>0和 Fatou引理得

这与式(6)矛盾.从而假设不成立.引理3证毕.

应用引理2,可得到如下引理:

引理4 在条件(V0)和(H1)~(H5)下,对几乎所有λ∈[1,2],存在序列{zm}⊂E,使得

引理5 设条件(V0)和(H1)~(H5)成立,{zm}是(PS)-序列,则下列2个结论中必有1个成立:

1)‖zm‖→0;

2)存在 δ>0,am∈Z,使得|zm,am|≥δ对 m∈Z 都成立.

证明 由引理4知{zm}在E上有界.假设2)不成立,则对任意 η >0,n∈Z,|zm,n|<η.由Hölder不等式得

由ε的任意性得

从而

因此1)成立.引理5证毕.

引理6 在条件(V0)和(H1)~(H5)下,对几乎所有 λ∈[1,2],存在 zλ,使得

证明 因为{zm}有界,所以{z+m}有界.由引理5知如下两者必有1个成立:

2)存在δ>0和am∈Z,使得|z+m,am|≥δ对任意m ∈Z成立.

如果‖z+m‖→0,那么对任意 s∈(2,+∞),在 ls中有 z+m→0.因为对任意 ε >0,存在 Cε>0,使得|f(n,s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1,|g(n,s)|≤ε|s|+Cε|s|p-1,所以由 Hölder不等式得

从而

这意味着zλ是个弱解.由(H5)得

应用Fatou引理,得到

引理6证毕.

引理7 设 u,v,s∈R,s≥ -1 且 w:=su+v≠0,则对 n∈Z,有

证明 类似于文献[5],故略.

引理8 设zλ是由引理6得到的临界点,则对任意w∈Σ:={szλ+ζ|s≥ -1,ζ=(u,v)∈E-},w≠0,有 Φλ(zλ+w)< Φλ(zλ).

证明 把Φλ写成如下形式:

因为(Φ'

λ(zλ),ζ)=0,所以

引理8证毕.

引理9 在条件(V0)和(H1)~(H5)下,存在λm→1和序列{zλm},使得

当r足够大时,可由此式导出矛盾,从而{am}可以选取为有界序列.由Fatou引理得到

从而当m→+∞时,

这就导出了矛盾,从而可得引理9成立.

引理10 在条件(V0)和(H1)~(H5)下,对 λm→1和序列{zλm},有

证明 对于 ζ满足‖ζ‖≤1,因为{zλm}有界,所以

从而可得引理10成立.

定理1的证明 因为{zλm}有界,所以下面两者必有1个成立:

1)‖zλm‖→0;

类似可得

所以Φ(z)=C>0,即z是系统(1)的基态解.定理1证毕.

[1]Ablowitz M,Prinari B,Trubatch A.Discrete and continuous nonlinear Schrödinger system[M].Cambridge:Cambridge University Press,2004:1-5.

[2]Bruno G,Pankov A,Tverdokhleb Y.On almost-periodic operators in the spaces of sequences[J].Acta Appl Math,2001,65(3):153-167.

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