抛物线两弦端点处切线性质的进一步拓展

●(陕西电子工业学校 陕西宝鸡 721001)

抛物线两弦端点处切线性质的进一步拓展

●张东仓(陕西电子工业学校 陕西宝鸡 721001)

文献[1]中提到抛物线两弦端点处切线具有3个有趣的性质，笔者认为这3个性质还可以做进一步拓展，即对其作相应的修正，这样更能揭示抛物线的魅人之处！

文献[1]中定理1如下：

定理1如图1，设P是抛物线y2=2px(p>0)上任一点(除去顶点)，弦PP1，PP2(或其延长线)分别过点M1(-m,0)，M2(m,0)，分别以P1,P2为切点的切线交于点P′，则点P在x轴上，且xPxP′=-m2.

图1

图2

笔者认为该定理中提到的点M1和M2关于原点对称，如果不对称，即经过抛物线上任意一点P的2条弦的端点P1，P2的切线交点P′还会在x轴上并且亦满足类似定理的结论吗？带着这样的思考，笔者对其进行了推证，发现文献[1]中提到的定理只是本文修正后定理的特殊情形而已.现对文献[1]中的3个定理做如下修正(不妨分别称为定理1′,2′,3′)，并进行推证.

1 对文献[1]中定理1的修正

定理1′ 如图2，设P是抛物线y2=2px(p>0)上任一点(除去顶点)，弦PP1，PP2(或其延长线)分别过点M1(c1,0)，M2(c2,0)，分别以P1,P2为切点的切线交于点P′，则P′满足

xP·xP′=c1·c2,yP·yP′=-p(c1+c2).

(很明显，当点M1与M2关于顶点对称时，c1与c2互为相反数，文献[1]中定理1自然成立.)

证明设P(x0,y0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则点P1,P2处的切线方程分别为

y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，

又点P,P1,M1共线，得

同理由P,P2,M2共线，得

由式(1)与式(2),可得

xPxP′=c1c2,yPyP′=-p(c1+c2).

2 对文献[1]中定理2的修正

定理2′ 条件如定理1′，如图3，则

(点M为P1P2的中点)；

(3)xP′=-xM′(点M′为P1P2与x轴的交点).

特别地，当P1P2恒过抛物线的焦点时，点P1,P2处的切线交点始终在抛物线的准线上.

很明显，当点M1与M2关于顶点对称时，c1与c2互为相反数，则yP1与yP2互为相反数，文献[1]中定理2自然成立.

利用角公式可得

从而

图3

图4

3 对文献[1]中定理3的修正

文献[1]定理3如下：如图4，抛物线y2=2px(p>0)的2条弦A1B1与A2B2(或其延长线)分别过点M1(-m,0)，M2(m,0).A1，A2处的切线交于点P，B1,B2处的切线交于点P′，则xP·xP′=-m2.与文献[1]中定理1,2的修正类似，现对文献[1]中定理3做如下修正，并进行推证.

定理3′ 抛物线y2=2px(p>0)的2条弦A1B1与A2B2(或其延长线)分别过点M1(c1,0)，M2(c2,0).A1，A2处的切线交于点P，B1，B2处的切线交于点P′，则

xPxP′=c1c2.

(很明显，当点M1与M2关于顶点对称时，c1与c2互为相反数，文献[1]中定理3自然成立.)

证明设A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，A2(xA2，yA2)，B2(xB2，yB2).因为A1,B1,M1共线，所以

yA1yB1=-2pc1.

同理由A2，B2，M2共线可得

yA2yB2=-2pc2.

与定理1′证明类似，可知

同理可得

[1] 李青林，周园.抛物线两弦端点处切线的有趣性质[J].数学通讯，2008(23):21.