巧构分布列 妙解数学题

●(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

巧构分布列妙解数学题

●殷长征(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

文献[1]中例6利用构造分布列求参变量的取值范围，简洁、流畅、巧妙.笔者读后有感，归纳出构造分布列可以速解(证)一些比较复杂的数学问题.现举例说明之.

1 证明不等式

例1设a，b，c∈R+，求证：

证明设事件ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

则

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

例2已知ab=1 000，a>1,b>1，求证：

证明设事件ζ的分布列如表2所示.

表2 ζ的分布列

则

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

因此

2 求最值

y=kx-2k+1，

代入方程(x+2)2+y2=1整理得

(x+2)2+(kx-2k+1)2=1.

设事件ζ的分布列如表3所示.

表3 ζ的分布列

则

Eζ=k(x+2)-(kx-2k+1)=4k-1，

Eζ2=k2+1.

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

k2+1≥[k(x+2)-(kx-2k+1)]2=

(4k-1)2，

解得

得

设事件ζ的分布列如表4所示.

表4 ζ的分布列

则

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0，得

3 解方程(组)

解设事件ζ的分布列如表5所示.

表5 ζ的分布列

则

因为Eζ2=(Eζ)2，所以

解得x=-7，经检验是原方程的根.

例6解方程组

解设事件ζ的分布列如表6所示.

表6 ζ的分布列

则

因为Eζ2=(Eζ)2，所以

解得

4 求参变量的取值范围

解设事件ζ的分布列如表7所示.

表7 ζ的分布列

则

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

解得

a≥0或a≤-1.

解由1 994-x≥0且x-1 993≥0,得

1 993≤x≤1 994，

从而

y≥1.

设事件ζ的分布列如表8所示.

表8 ζ的分布列

则

由Dζ=Eζ2-(Eζ)2≥0,得

从而

点评以上解题的关键是巧设随机变量ζ的分布列，其主要思想有2点：(1)利用不等式的轮换性构造分布列；(2)利用“和为1”的条件构造分布列.

[1] 朱达峰.小构造 大作用[J].中学教研(数学)，2011(4)：9.