一道IMO试题的证明及其推广

●(深圳中学 广东深圳 518001)●(广州大学附属中学 广东广州 510050)

一道IMO试题的证明及其推广

●周峻民(深圳中学 广东深圳 518001)●郑慧娟(广州大学附属中学 广东广州 510050)

(第14届IMO试题)

该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数⎣x」．

1 知识背景

方次数函数potpn：表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0)．如20=22·5，则pot220=2，pot320=0，pot520=1．

下取整函数⎣x」：表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分)．如⎣1.2」=1，⎣3」=3．

这2个数论函数在数论中非常有用，由定义可得到下列简单的性质：

性质1potp(mn)=potpm+potpn.

性质2b/a是整数的充要条件是：对任意素数p，有potpb-potpa≥0．

性质3⎣x」+⎣y」≤⎣x+y」≤⎣x」+⎣y」+1.

性质4当n是整数时，⎣n+x」=n+⎣x」．

将这2个数论函数联系到一起，得到以下性质：

2 试题的证明

证明由性质1知

potp(2m)!(2n)!=potp(2m)!+potp(2n)!,

potpm!n!(m+n)!=potpm!+potpn!+potp(m+n)!.

[potp(2m)!+potp(2n)!]-[potpm!+potpn!+potp(m+n)!]≥0.

由性质5，该问题可转化为证明：对任意素数p，

到这一步，思路有点卡住了，因为这5个“无限求和”是大问题．能否把这5个“无限求和”合并呢？合并之后，如果每一项的值非负，那么它们的和也是非负的.于是，希望得到：对任意素数p和任意正整数i，必有

(1)

由于式(1)中素数p是任意的，正整数i也是任意的，因此更一般地，如果可以做到：对任意实数x,y，必有

(2)

那么问题就迎刃而解了．

式(2)中x,y是任意实数，范围有点大，下面尝试把x,y的范围变小．设x=⎣x」+a，y=⎣y」+b，其中a,b∈[0,1)．由性质4知

⎣2x」=2⎣x」+2⎣a」，⎣2y」=2⎣y」+⎣2b」，⎣x+y」=⎣x」+⎣y」+⎣a+b」，

代入可得

⎣2x」+⎣2y」-⎣x」-⎣y」-⎣x+y」=

(2⎣x」+⎣2a」)+(2⎣y」+⎣2b」)-⎣x」-⎣y」-(⎣x」+⎣y」+⎣a+b」) =⎣2a」+⎣2b」-⎣a+b」,

再次简化得：对任意实数a,b∈[0,1)，必有

综上所述，对任意实数a,b∈[0,1)，式(3)恒成立，命题得证．

3 试题的推广

由试题的证明过程可知，IMO.14.3的背景就是式(2)，而式(2)又可简化为式(3)，由此可编制出相同背景的试题．

上面3个推广和IMO.14.3“形状”相似，解法也相似，留给感兴趣的读者．

乍一看，推广4与IMO.14.3“形状”相似，但是仔细观察可发现2n-2

对任意实数x，必有

⎣2x-2」≥⎣x」+⎣x-2」,⎣2x-2」≥⎣x-1」+⎣x-1」.

类似于IMO.14.3的证明方法，可得P，Q是整数．

推广5～7与推广4的证法类似.下面2个推广与推广4的证法不一样，留给感兴趣的读者．

推广9证明：m!n!整除(mn)!．

[1] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.

[3] 柳柏濂，吴康.竞赛数学的原理和方法[M].广州：广东高等教育出版社，2003.