从一道试题探究圆锥曲线的一组命题

●(盱眙中学 江苏淮安 211700)

从一道试题探究圆锥曲线的一组命题

●周志国(盱眙中学 江苏淮安 211700)

每年高考数学模拟试卷中都会出现新颖别致、个性鲜明、有一定难度的解析几何试题．2011年江苏省3所名校联考第18题是一道精彩的解析几何题目，给我们留下深刻的印象．笔者利用几何画板演示，对该试题进行探究，得到圆锥曲线的一组命题，以飨读者．

(2)当圆M与直线AF1相切时，求圆M的方程；

(3)求证：圆M总与某个定圆相切．

(2011年江苏省天一中学、海门中学、盐城中学联考试题)

分析(1)(2)略.

图1

图2

又因为P(x0,y0)在椭圆C上，所以

从而MO+MF2=a>c=OF2，故点M的轨迹是以O，F2为焦点的椭圆．

图3

图4

证明由命题1的结论知M的轨迹是以O，F2为焦点的椭圆，且满足MO+MF2=a.而MF2=rM,a=r0，即MO+rM=r0，说明圆M总与定圆O:x2+y2=a2相内切，如图3所示．

从而MO-MF2=a

综上所述，点M的轨迹是以O,F2为焦点的双曲线．

证明由命题2的结论知M的轨迹是以O，F2为焦点的双曲线.

当M是右支上的点时，满足MO-MF2=a，而MF2=rM,a=r0，得MO=r0+rM，说明圆M总与定圆O:x2+y2=a2相外切,如图5所示．

当M是左支上的点时，满足MF2-MO=a，而MF2=rM,a=r0，得MO=rM-r0，说明圆M总与定圆O:x2+y2=a2相内切,如图6所示．

综上所述，圆M总与定圆x2+y2=a2相切．

图5

图6

图7

图8

命题3已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线上任意一点，点M是线段PF的中点，则点M的轨迹是以F为焦点的抛物线．

根据抛物线定义可知点M的轨迹是以F为焦点的抛物线,如图7所示．

推论3已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点分别为F，点P是抛物线上任意一点，点M是线段PF的中点，圆M是以PF为直径的圆，则圆M总与定直线x=0相切．

证明由命题3，点M到y轴的距离为MF，而MF=rM，说明圆M总与定直线x=0相切,如图8．

以上探究揭示了圆锥曲线共有的一组性质，帮助我们进一步认清问题的本质,因此在平时的学习中要学会思考，通过数学实验(如几何画板演示)总结归纳出可能成立的一些命题，再通过代数推理给出证明．