面对困惑 探究本源

●(玉门市第一中学 甘肃玉门 735211)

面对困惑探究本源

●谢鹏作(玉门市第一中学 甘肃玉门 735211)

刚学习完概率,笔者找了一道2010年广东省数学高考理科试题第17题作为章末复习用,然而在课堂练习时运用各种解法都遭遇了尴尬.面对困惑,笔者认为有进一步研究的价值,现将课堂实录供述如下,以飨读者.

题目某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490，495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图1所示．

图1

(1)根据频率分布直方图,求质量超过505 g的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505 g的产品数量,求Y的分布列；

(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的质量超过505 g的概率．

以下是学生的解法,分别写到黑板上.

解(1)质量超过505 g的产品数量为12件(过程略).

表1 Y的分布列

方法2Y的分布列如表2所示：

表2 Y的分布列

方法3超过505 g的产品数量Y可能的取值有0,1,2，其中

所以Y的分布列如表3所示：

表3 Y的分布列

因为第(2)小题的3种方法不同,所以没有让学生写出第(3)小题.在大家的相互讨论下,否定了方法1,多数学生肯定了方法2和方法3.此时有学生发表看法，方法2和方法3分布列中对应的概率不相等，说明方法2有误,但不知误在何处?顿时,教室一片寂静,陷入困惑之中.

方法2错在哪儿呢?(过了2分钟)有个小组的学生显得很自信，认为是将频率看成概率时产生的误差.如当Y=0时,方法2中P(Y=0)=0.72=0.49(0.7只是频率而不是概率),方法3中

是频率惹的祸?误差还是错误?错误的本源在哪?随着问题的提出，学生争先恐后地探索着……(2分钟后)见学生没有动静,教师开始点拨.

P(Y=0)=0.72中的第1个0.7指的是从40件样品中抽取1件不超过505 g的概率(学生齐答,看来0.7就是概率),此时剩39件样品,不超过505 g的有27件,从中抽取1件不超过505 g的概率为第2个0.7吗?此时,学生恍然大悟,原来错误地将不放回抽样看成放回抽样!

很快,学生得到了方法2的更正与第(3)小题的解答.

方法2的更正

Y的分布列略.

(3)该问题从流水线上抽取,因此超过505 g的产品数ξ～B(5，0.3),故

若从样本中抽取,则

这2种结果明显不同,而将从样本中抽取看成有放回抽样,则

因此,从流水线上抽取,虽然不放回抽样,但因流水线产品数量大可视为无限容量的总体.

反思与感悟通过问题的解答,笔者发现产生错误的原因是对以下概念存在混淆.

(1)古典概型与独立重复试验.

古典概型具有2个特点:①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.对于古典概型,任何事件的概率为

独立重复试验是在相同条件下重复做n次试验,关键字是“独立”、“重复”，即:①每次试验中,事件发生的概率是相同的;②每次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有2种结果:要么发生,要么不发生.

(2)放回抽样与不放回抽样.

由古典概型得出超几何分布,由独立重复试验得出二项分布,这2个分布的区别是:在产品抽样检验中,如果采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布;如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布.二项分布的随机变量是n次独立重复试验中事件发生的次数.

在实际问题中,区分古典概型与独立重复试验的关键是不放回还是有放回.不放回符合古典概型,随机变量服从超几何分布;有放回符合独立重复试验,随机变量服从二项分布.当产品数量很大而抽取的数不太大时,不放回抽样可以认为是有放回抽样,超几何分布近似于二项分布,此时2种公式等价.

在解题时,我们需要区别字眼,区分概念,从源头思起,考虑路径,选择方法.解题是高中数学的核心,“解题教学正是达到教学目的的最好手段”(张乃达先生语).因此我们不仅要重视解题,更要教会学生如何解题.特别是当问题产生错解而面对困惑时,饮水思源,探究本质,正如英国心理学家贝思布里说过“差错人皆有之,而作为教师,对学生的错误不加利用则是不能原谅”.

[1] 张月媚.一样的Eξ不一样的是对与错——古典概型与独立重复试验混淆、困惑、探究[J].福建中学数学,2010(11):18-21 .