高维欧氏空间中向量的外积

夏盼秋

（武汉大学数学与统计学院，武汉 430072）

高维欧氏空间中向量的外积

夏盼秋

（武汉大学数学与统计学院，武汉 430072）

指出了对高维欧式空间中向量外积定义的不足，从几何空间中向量外积的几何描述入手，经过简洁的证明推导，重新提出了高维欧式空间中向量外积的定义，并得出了若干相关结论.

高维欧氏空间；向量外积；几何描述；行列式

1 引 言

外积是线性代数中一个重要的概念，它最初源于对物理学中力矩等物理量的描述.经过数学的严格推导证明，几何空间中向量外积运算已成系统，并发挥着不可或缺的重要作用.同时，人们一直尝试着将向量外积运算推广至高维欧氏空间，最终给出了确切的行列式表达，且已将高维欧式空间下的外积运算成功地应用于数学以及其它领域［1-3］.然而这些工作忽略了向量外积运算的几何意义，而更着重于高维欧式空间中向量外积的应用.必须注意，几何空间中向量外积运算具有明确的几何含义，那么对于推广的外积运算是否同样满足推广的几何含义，以及一些相关问题的探讨还是十分必要的.基于此，本文参照几何空间里向量外积的定义，重新给出高维欧式空间中向量外积运算的定义，并得出一些相关结论.

2 高维欧式空间中向量外积定义的提出

几何空间里向量外积的定义如下：

定义1 两个向量α1与α2的夹角为ω（0≤ω≤π），则α1和α2的外积也是一个向量，记为α1×α2，其长度为

其方向垂直于α1和α2组成的平面，并且α1，α2和α1×α2构成右手系［4］.

由上述定义很容易得出两条在几何空间下与外积有关的性质：

设α1与α2线性无关，则

i）α1×α2的长度等于以α1，α2为邻边的平行四边形的面积；

ii）α1×α2的方向垂直于α1，α2张成的平面.

由此可以猜想：n维欧氏空间下n-1个向量的外积大小等于这n-1个向量张成的平行多面体的体积，方向垂直于这n-1个向量张成的n-1维线性流形.由上面定义可知，几何空间下的向量外积的方向由右手系确定.但在高维空间下无法应用类似于几何空间的右手系定义.只有回避右手系定义，才能得到高维欧式空间下外积向量的完整定义.我们知道，几何空间两向量外积的另一等价定义——行列式定义，能否从行列式定义出发，得到高维欧式空间下外积向量的完整定义呢？为此，引入几何空间两向量外积的等价定义——行列式定义：

定义2 设O；i，j，

［k］是一个右手直角坐标架，α1和α2在其中的坐标分别是

实际上，上述两种有关几何空间下向量外积的定义等价［4］.由定义可知，几何空间下外积向量的方向由成右手系的标准正交基确定.

由此定义，如果借用欧氏空间的一个标准正交基来确定高维欧氏空间下的向量外积的方向定向，那么就可回避几何空间下向量外积满足右手系的要求.因此，只要找到不同基下外积向量的联系与区别，就能得到n维欧氏空间下向量外积运算的几何描述.即完整的n维欧氏空间下向量外积运算的定义.

下面给出n维欧氏空间下向量外积运算的定义.

定义3 设ξ1，ξ2，…，ξn是n维欧氏空间的一个标准正交基，向量η1，η2，…，ηn-1在这个基下的坐标为

显然，上述行列式定义为几何空间下向量外积的行列式定义直接推广.如果能证明它满足于几何空间外积运算几何性质的推广，那么我们就得到了完整的高维欧氏空间下的向量外积定义.

事实上，∀i＝1，2，…，n-1，因为

若向量η1，η2，…，ηn-1线性相关，那么体积为零，且对于所给外积行列式向量也有A1＝A2＝…＝An，即行列式向量的模等于η1，η2，…，ηn-1张成的平行多面体的体积；若它们线性无关，则可求得由向量η1，η2，…，ηn-1张成的平行多面体的体积.

先添加一个向量

由于已证η0与η1，η2，…，ηn-1张成的n-1维空间正交，因此令η0，η1，…，ηn-1张成的n维平行多面体的体积为Vn，η1，η2，…，ηn-1张成的n-1维平行多面体的体积为Vn-1，则有以下等式成立：

这样，就已经证明了定义3所给的行列式表示满足几何空间外积几何定义的推广.

3 若干结论

下面来讨论不同基向量的选取对外积运算的影响.

定理1 n维欧氏空间下的n-1个向量，在不同标准正交基下的外积大小相等，方向相同或者相反，且两个标准正交基之间的变换若为第一类正交变换，相应的外积方向相同；若为第二类正交变换，则方向相反.

证在给定的n维欧氏空间Vn里，任取两个标准正交基：α1，α2，…，αn及β1，β2，…，βn，它们之间对应的正交矩阵为T，即

是Vn中n-1个线性无关向量，且在基α1，α2，…，αn下的坐标为

那么它们在基β1，β2，…，βn下的坐标为

根据向量外积的行列式表达，可以得到〈η1，η2，…，ηn-1〉在两个基下的行列式表达分别为

由此不难看出，基变换可以改变外积运算的结果.但是由于基向量的选取要求是标准正交基，则对分别应着第一、二类正交变换，且第一类正交变换不影响外积运算结果，第二类正交变换则使外积运算结果反向.

下面讨论高维欧氏空间向量外积的性质.

线性性质：

定理2 n维欧氏空间下的外积运算满足线性性质，即

已知n维欧氏空间Vn的一个标准正交基ξ1，ξ2，…，ξn，而η1，η2，…，ηn-1是Vn里一组线性无关向量，那么

致谢 在成文过程中，得到了武汉大学樊启斌教授的悉心指导，谨此致谢！

［1］ 李鸿禄.高维欧氏几何学［M］.北京：原子能出版社，1996.

［2］ 张沛和，周瑜.R Rn空间的矢量积及其应用［J］.嘉应大学学报，2000，3：5—9.

［3］ 吴成茂.欧氏空间中一种外积定义的拓广及其应用［J］.西安邮电学院学报，1997，2（4）：37—41.

［4］ 陈志杰.高等代数与解析几何［M］.北京：高等教育出版社.

The External Product in Higher Euclidean Space

XIA Pan-qiu
（Wuhan University，Wuhan 430072，China）

The paper pointed out the lack of the definition for exterior product in higher Euclidean space.Starting from the geometric describing of external product in geometric space，after tersely attesting and deriving，writer represents the definition of the external product in higher Euclidean space outside and results some conclusions.

external product；higher Euclidean space；geometric describing；determinant

O183.1

C

1672-1454（2011）04-0159-06

2008-10-23；

2009-03-09