条件期望与三变量独立性的两个充要条件

郑发美

（淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300）

条件期望与三变量独立性的两个充要条件

郑发美

（淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300）

随机事件的独立性、随机变量的独立性是概率统计中的重要概念，不少学者都在这方面有所讨论.本文作者讨论了三维连续型随机变量（X，Y，Z）中三个分量X，Y，Z的相互独立性、条件独立性，得到三个引理.利用条件期望及三个引理作者给出了三变量相互独立的两个充要条件.

随机变量；独立性；条件概率；条件期望；充要条件

随机变量的独立性在概率统计中有着十分重要的意义和广泛的应用价值.本文就三维连续型随机变量的独立性展开讨论，找到三个变量独立性的两个充要条件.

引理1 设（X，Y，Z）是三维连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y，z），（X，Y，Z）关于X，Y，Z的边际概率密度分别为fX（x），fY（y），fZ（z），则X，Y，Z相互独立的充要条件为f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z）.

证设（X，Y，Z）的联合分布函数为F（x，y，z），（X，Y，Z）关于X，Y，Z的边际分布函数分别为FX（x），FY（y），FZ（z）.

必要性.若X，Y，Z相互独立，由定义1知，

由概率密度的定义知，fX（x）fY（y）fZ（z）是（X，Y，Z）的联合概率密度，所以，f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z）.

充分性.若f（x，y，z）＝fX（x）fY（y）fZ（z），由分布函数的定义知，

由定义1知，X，Y，Z相互独立.

推论X与Y相互独立的充要条件是fXY（x，y）＝fX（x）fY（y）.

引理2 设（X，Y，Z）是三维连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y，z），X在Y＝y下的条件概率密度记为fX｜Y（x｜y），且fY（y）＞0，则X与Y相互独立的充要条件是fX｜Y（x｜y）＝fX（x）.

证必要性.设X与Y相互独立，由上述推论知，fXY（x，y）＝fX（x）fY（y），再由条件概率密度的定义有，

从而fXY（x，y）＝fX（x）fY（y）.由上述推论知，X与Y相互独立.

引理3 设（X，Y，Z）是三维连续型随机变量，X，Y，Z两两独立，fZ（z）＞0，则X，Y，Z相互独立的充要条件为X，Y在Z＝z下条件独立.

定理1 设（X，Y，Z）是三维连续型随机变量，则X，Y，Z相互独立的充要条件是下列的（i）与（ii）同时成立.

由定义2知，X，Y在Z＝z下条件独立.又由条件（i）知，X，Y，Z两两独立，根据引理3知，X，Y，Z相互独立.

定理2 设（X，Y，Z）是三维连续型随机变量，fZ（z）＞0，则X，Y，Z相互独立的充要条件是下列的（i）与（ii）同时成立.

［1］ 姚仲明，唐燕玉.条件数学期望与随机变量独立性的一个充要条件［J］.大学数学，2007，25（6）：172-175.

［2］ 奚李群.三变量独立性的两个结论［J］.工科数学，1997，13（6）：165-167.

［3］ 陈光曙，等.条件独立及其性质［J］.佳木斯大学学报（自然科学版），2006，24（1）：115-117.

［4］ 郑发美.离散型随机变量的几种独立性及相互关系［J］.大学数学，2010，26（5）：191-193.

［5］ 汪嘉冈.现代概率论基础［M］.上海：复旦大学出版社，1988：82-83.

［6］ 扬文礼，等.概率论与数理统计［M］.北京：北京师范大学出版社，1986：166-167.

［7］ 魏宗舒，等.概率论与数理统计教程［M］.北京：高等教育出版社，1983：127-128.

［8］ 李开灿，耿直.条件独立性的三种形式及相互关系［J］.北京大学学报（自然科学版），2002，38（5）：629-634.

Conditional Expectation and Necessary and Sufficient Conditions about Independence of Random Variables

ZHENG Fa-mei
（School of Mathematical Science，Huaiyin Normal University，Huaian，Jiangsu 223300，China）

The independence of the random event and the random variable are important concepts.Many scholars have discussion in these aspects.In this article，the author discusses the mutual dependence and conditional independence of three components in the three dimensional continuous r.v（X，Y，Z）.The author demonstrates three lemmas.By using the conditional expectation and three lemmas，the author gives two necessary and sufficient conditions about mutual independence of three random variables.

random variables；independence；conditional probability；conditional expectation；necessary and sufficient condition

O211.1

C

1672-1454（2011）04-0152-04

2008-05-26；

2008-10-10