模糊理论在实物期权定价方法中应用的理论研究

郭 倩,王雪青

(天津大学管理学院,天津 300072)

模糊理论在实物期权定价方法中应用的理论研究

郭 倩,王雪青

(天津大学管理学院,天津 300072)

期权定价模型的应用日益成为各种投资项目价值评估的手段。然而定价模型中所需的几个重要参数的确定往往只能依靠决策者的主观估计,这一确定过程的主观性,必然导致运用期权定价模型对投资项目定价的不准确。鉴于此,文章在梳理实物期权有关文献的基础上,对期权定价方法进行归纳分类,并进一步找出其在实际应用中的限制,提出应用模糊数学方法修正实物期权投资模型的理论优势。

实物期权;模糊理论;期权定价方法

一、引 言

实物期权的定价问题是一个非常复杂的问题,其困难在于我们必须先知道标的资产变化行为的一些统计参数,在这些参数已知,如无风险利率及资产收益波动性固定的情况下,才能准确对其进行价值评估。当这些参数非固定常数且期权非欧式时,则B-S评价公式便常常处于无用武之地,进而研究者通过后续的相关研究,提出了许多数值分析法来解决。过去以B-S期权定价模型为主的算法,不论是其修正模型或近似模型,虽然都有其适用性及不错的评价绩效,但大多数模型均是假设在模型的结构信息已知下求解。在这样的前提下,许多问题便应运而生,如当真实体系的结构信息未知或不明确,亦或政治结构与市场环境变得复杂时,甚至出现有所谓的结构改变时,而贸然地以某种特定模型来对事实描述,不论其模型结构有多完美,均难以描述真实体系的变化行为。因此,考虑应用某一些无特定结构信息的假设而以资料驱动型的方法来描述非线性的期权价格实有绝对的必要。本研究主要目的在于针对实物期权定价方法在实际应用中的主要限制,修正标的资产收益波动性及无风险利率固定的假设,同时将模糊集合理论应用于期权定价模型中,以建立模糊期权定价模型,希望藉此模型所求解的买权价格区间更接近实际值。

二、期权定价方法

期权定价方法大致可分为模型驱动型理论及资料驱动型理论两大类,以下即针对此两大类模型的优缺点做比较,如表 1、表 2所示。由于模型驱动型期权定价模型面临定价偏差的窘境,故许多数值算法 (numerical algorithms)便因应而生,这些方法一方面源自对其基本模型的修正,另一方面结果也是属于逼近的数值解。

表 1 模型驱动型期权定价理论

表 2 资料驱动型期权定价理论

关于期权定价理论,许多学者曾经进行深入研究,下面将期权定价理论根据模型驱动型理论及资料驱动型理论分成两部分,并将其相关文献内容及评论整理成表 3、表 4。

表 3 模型驱动型期权定价理论文献回顾与评述

模型名称 年度 作者 文献内容摘要与评论偏度及峰度法 (Skewness and Kurtosis) 1997 1997 2002 Charles and Su Paulson e t al. Brown and Robinson加入偏度及峰度的调整项在B-S模型中,并导出修正模型。其能解释波动性微笑现象。分析趋近法(Analytic Approxim -ation) 1984 1986 1986 1997 Geske and Johnson; Barone -Adesi,Whal -ey; Macmillan Zhang提供另一种数值分析法,可估计出避险参数,然而这些避险参数的估计却是相当粗糙的。

表 4 资料驱动型期权定价理论文献回顾与评述

三、B-S期权定价模型及其应用误差

截至目前为止,最著名的期权定价模型是由 Black-Scholes(1973)和 Cox、Ross&Rubinstein(1979)分别所提出的模型。B-S模型推导出一个连续时间下封闭的数学解析式,而 CRR模型则使用二叉树模型来推导离散时间下的期权定价模型。当时间被分割成无数段的小区间时,CRR模型就很接近B-S模型。但此两种模型有其实务应用上的限制,因为其模型必须对无风险利率及股价报酬的波动性作估计,故投资者在使用模型时即隐含不确定性。惟考虑投资环境的不确定性,故可以应用模糊集合理论于B-S及 CRR模型之上,以推算合理的买入价格区间。

(一)B-S期权定价模型

期权(option)是一种契约,买方有权利在未来某一段期间内,以事先约定好的价格向卖方买入或卖出某一数量的标的资产。依买入或卖出的权利可分为买入期权及卖出期权两种。买权赋予持有人买入某标的资产的权利,而卖权反之。另外期权又可依履约时间的不同,分为美式期权、欧式期权和百慕大期权。美式期权 (American option)可在到期日前(含)的任何一天履约,向卖方买入或卖出股票或约定的标的资产;欧式期权 (European option)仅能在到期日当天履约;而百慕大期权是一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权,介于欧式期权与美式期权之间,可以被视为美式期权与欧式期权的混合体,以下为针对 Black-Scholes欧式买权所推导的公式。

Black-Scholes期权定价模型是由两位美国经济学家FischerBlack及Myron Scholes于 1973年联合提出。该公式奠定了衍生性金融商品定价的理论基础,对金融工程的发展存在着重要的影响,并于 1997年荣获诺贝尔经济学奖。他们指出,影响买权价格的主要因素有标的资产股票价格、履约价格、到期时间、股票报酬率以及波动性和无风险利率,其具体的定价公式如下:

该公式广泛地用来评价买入期权的合理价格,协助投资人决定期权或其它衍生性金融商品的价值,该公式的推导是建立在以下假设基础上的:

(1)无风险利率在存续期间内固定不变;

(2)无现金红利;

(3)不存在卖空的限制;

(4)股票收益率标准差为固定值;

(5)无风险套利机会不存在;

(6)股价是连续的,且为随机漫步 (random walk),股价为对数正态分布;

(7)无交易成本,亦无税收;

(8)证券可无限制分割。

对于B-S期权评价公式的基本假设,该公式对无风险利率、股票收益率标准差等要素均作了较为严格的假设,如果假设条件被违反,则B-S期权定价模型的正确性及可靠性,将受重大影响。期权的价格在不确定情况下应该是一个区间,但如果以此确定模型描述期权价格时,将无法精确算出期权价格。因此使用B-S期权定价模型的投资者,必须经常对无风险利率、股价报酬之波动性等因素予以估计与预测并以此作为分析的依据。但投资者的估计与预测,不可避免地将受人为因素的影响,因此,结合模糊理论描述期权定价模型中的不确定性因素,建立模糊期权定价模型,才能进一步提升期权定价模型的实用性和精确性,才能使决策更加有效和客观。

(二)B-S期权模型的应用误差

表 5 标的资产价格分布引起的定价误差

另外,对于居于价内与价外期权而言,其理论价格与市场价格的差异并不因时间的经过而减少,同时也不因标的资产报酬波动的大小而有所不同,其模型与实际价格的差异如表6所示。

表 6 B-S模型实证分析文献整理表

(三)二叉树定价模型

一般意义的二叉树期权定价方法因 Cox、Ross和 Rubinstein(1979)的论文而得到推广。定价模型相对简单,其定价公式如下:

其中,C表示第 n期的买入期权价格;n表示期数;u和 d分别是股价的上升幅度和下降幅度;p表示上涨概率。

如果上述二叉树模型是一期二叉树模型,则定价公式为:

二叉树期权定价方法与现金流贴现模型不同,并非运用一系列有风险的现金流并对它们用以风险调整后的贴现率进行贴现,而是对发生在特定时间的特定现金流的概率进行风险调整,从而运用现金流风险调整后的概率使得分析者可以以无风险利率对这些现金流贴现。这是应用二叉树定价方法进行期权估价的精髓,使用这种方法得到的结果是一致的。但是,二叉树定价方法非常依赖对未来现金流的预测,而现金流本身预测的难度又增加了二叉树定价方法实际应用的难度。二叉树定价模型假定未来每个时点上,每个现金流都存在两种情况,实际上假定未来现金流的变化时不确定的,因而可以用模糊地方法预测未来现金流,以增强二叉树模型的实际应用效果。

Previous papers have found that the prevalence of hospital undernutrition varies between 27% to more than 50% depending on the identification criteria, the medical or surgical setting and the age of the patients[6-10].

四、实物期权法在实际应用中的限制

实物期权定价模型原则上都是在B-S模型理论的基础上产生的,即便是二叉树模型也是 B-S模型离散化形式。整体而言,以无套利理论为基础的期权评价理论,均通过构建无风险避险投资组合,进而决定期权的均衡价格。但由于Black和 Scholes(1973)定义的完美市场假设过于严格,因此,此后学者修正的方向大致可归纳为:(1)修正资产报酬变量固定的假设,同时探讨波动性有效估计方法;(2)修正利率常数假设,水平利率期限结构的假设,以下即展开对于报酬波动性及无风险利率对项目投资价值评估影响的评述。

(一)风险中性假设的限制

风险中性假设是B-S期权定价模型的基础,但是这个假设只具有一个“瞬间有效性”的效力而已。在超过一个“瞬间”的时间长度时,则此假设不存在,或者延续此假设有效性的做法根本不合实际。更重要的是,在财务经济领域中,风险中性假说的观点应只针对股市的“需求面”来谈而已,并非如B-S模型中把它和股市的“均衡股价”结果连接在一起。

B-S模型在推导初始是将股票和其相对应的期权,根据一定的比例组成一个无风险的投资组合。问题是这个投资组合的无风险状态只存在于一瞬间而已。Hull(1993)认为对于一个具有相当时间长度的期权而言,先验式的说法并不能拿来证明整个期权的实质内涵。当我们把期权期满时股价依无风险利率折现时,就无异于明确表明所有不同种类的股票都将会以一个无风险利率的速度成长,而这必然是个有偏差的观点,对于实物投资项目的定价同样也是如此。

当然,B-S模型以风险中性观点作为分析的最主要基础,主要是将风险偏好的有关因素排除在整个推导过程之外。当然,我们在一般风险偏好理论上的主要认知为投资项目的预期回报水平和风险偏好程度呈负相关。但问题是,即便可以把投资项目预期回报率从B-S模型推导过程中完全排除,并不表示我们便可把整个的定价模型所属的研究分析环境当成是一个风险中立的世界,表 7为学者针对风险利率所做的修正模型。

表 7 风险中性修正的期权定价模型

如要修正B-S(1973)模型中把所有投资者都建立在风险中性假设基础上,把所属研究环境当作风险中性世界,而在进行期权定价时,最佳方式便是把此假设直接定义成一种客观性存在,然而每位投资者在作出投资决策时,都具有主观性,并以主观行为来描述客观性的问题。但实际上,风险偏好观点是因人而异的,它不具备一种完全的客观性或标准性特征,因此无法衡量个别投资者对投资方案在任一方面的偏好行为。所以以往讨论风险偏好理论,在某种完全客观的观点下应该不能成立,而风险中性解释并不等于客观上的无风险。因此,风险的描述是带有主观性的,不同投资环境下的风险描述必然是模糊的,进而引进模糊理论来描述无风险利率,并以某一模糊数来表示投资项目价值具有重大的实际意义。

(二)波动性假设的限制

波动性基本被用作风险的直接解释或直接表示方式。事实上,对于期权评价的方式有许多看法,有人认为在 B-S期权定价模型中,假设其为外生变量是不合理的,而有些学者认为,标准差是随着期权的价值不同而成动态性的变化的,称为隐含波动 (implied volatility),而很多西方学者也发现同样的标的资产基于折价期权及溢价期权所求出来的隐含波动性 (impliedly standard deviation,ISD)常常不一样,通常价内的 ISD会高于价外的 ISD,一般称为期权微笑 (volatility smile)。然而期权定价的根本依据之一为其标的资产与未来的标的资产变动结果,而标的资产波动性在任何期权评价中,理论上应该是未来的波动性。假如未来的波动性已知,我们就能知道期权价格。因此,不少学者使用许多方法来估计标的资产未来的波动性,一些常用的方法描述如下:

(1)历史波动性

假设过去标的资产波动性等同未来标的资产的波动性,我们就能使用过去标的资产报酬的波动性去估计未来标的资产报酬的波动性,一般计算方法为加权移动平均法,计算公式如下:

其中,rt表示第 t期标的资产的收益率或报酬率,表示标的资产的平均收益率。

(2)隐含波动性

在B-S期权定价模型是准确的情况下,我们就能藉此反推隐含波动性,但折价期权和溢价期权的波动性皆比平价期权的波动性还大,这称作期权微笑。

(3)帕金森方法(Parkinson method)

Parkinson(1980)认为只使用收盘价无法反映目前实际情况,所以使用最高和最低价来代替收盘价。

(4)Garman和 Klass方法

Gar man和 Klass(1980)修饰 Parkinson方法,增加开盘价及收盘价于其中,并同时使用四个变量来估计股价报酬率的波动性。

(5)时间序列分析法 (GARCH method)

Blooerslev(1986)提出时间序列分析来处理股价的波动性。其认为股价波动性会随着时间的变动而改变,所以并不是常数,且股价具有集聚特性,在期权定价模型中,目前股价报酬的波动性反映过去的股价报酬的波动性。因此估计标的资产未来的波动性有许多方法,表 8为一些学者针对股价报酬波动性所做的修正模型。

表 8 期权中报酬波动性的修正模型

既然标的资产的变动情形很少会呈现完全相同的型态,我们也就不可能采用统一的看法将所有不同标的资产变动情形在某种观点上一视同仁,且由于标的资产波动性是受许多因素所影响的,虽然也有不少研究在探讨标的资产的影响因素及其变动趋势,然而就目前而言仍属不确定的,所以它的评价因素也应该是个不确定值,而非在B-S期权定价模型中将标的资产报酬率标准差视为固定值,正是由于此动态性存在,难以基于大树法则概率理论来计算标准差,似乎可视为在模糊环境下的问题,因此,可以利用模糊数学理论对实物期权进行定价。

F045.32 [文献标识码 ]A [文章编号]1003-8353(2011)04-0181-05

山东省软科学项目(2010RKGA1030)。

郭倩,女,天津大学管理学院博士研究生;王雪青,女,天津大学管理学院教授,博士生导师。