三角变换测频法的误差分析及误差抑制①

2011-10-30应展烽吴军基易文俊

电力系统及其自动化学报 2011年3期

关键词：测频检测点间隔

应展烽，吴军基，易文俊

(南京理工大学动力工程学院，南京 210094)

三角变换测频法的误差分析及误差抑制①

应展烽，吴军基，易文俊

(南京理工大学动力工程学院，南京 210094)

抑制三角变换测频法误差对于电网频率检测具有重要意义。文中通过引入检测点间隔的概念重新推导了三角变换法，并对其误差机理进行了分析。研究发现，算法精度与检测点间隔相关。利用极值分析法和牛顿迭代法可对最优检测点间隔进行估计。通过最优间隔的选取和少数结果奇异点的剔除，即使待测信号存在一定误差，三角变换法的精度也能满足工程需要。算例仿真证明该研究能够提高算法精度和抗干扰能力，同时降低算法对滤波及采样装置精度的依赖性。

频率检测；三角变换；误差分析；牛顿迭代法

基波频率是电网信号分析与处理中的重要参数。频率的波动会导致电力检测和保护设备性能下降，甚至出现误动作。因此正确检测频率在工程中具有重要意义。

近几年，频率检测的三点法和六点法被分别提出。由于二者都是基于三角变换的代数算法，故可被统称为三角变换法。相比其他测频方法[1～4]而言，三角变换法原理简单，计算量小，精度与采样频率无关，非常适合于低压电网频率的跟踪测量，因此得到较广的应用。如Xue[5]和Aghazadeh[6]将三点法和过零法结合对电网频率进行跟踪，研究结果均发现三点法可以极大的提高系统的频率跟踪的能力。洪慧娜[7]对三点法进行了静态仿真，提出了检测结果的奇异点和随机数据舍去方法。张瑛[8]通过二次平方逼进法进一步提高了三点法中反三角函数的求解精度。石敏[9]通过六点法对实际电网信号进行了检测，证明了算法的对频率的跟踪性。

然而，三角变换法存在严重缺陷。这是因为该算法要求待测信号必须是高精度的基波信号。但工程中，通过滤波和采样装置得到的基波信号往往会因为精度不足而出现误差(尽管误差值一般较小，却几乎不可避免)。小误差会严重影响算法精度，甚至导致检测失败，因此影响了三角变换法的工程实用性。实际上，通过调整算法中各检测点之间的间隔，可以调节滤波和采样误差对三角变换法精度的影响，甚至可以最大程度的抑制结果误差。相反，检测点间隔调整不佳时将可能导致算法精度更加恶化。文献[8]在研究三点法时已经发现了该现象，并提出只要保证三个检测点均在1/4个周期内，则算法就具有较高的精度。但由于未经数学验证，其结论并不完整。而其他大多数研究者均没有对检测点间隔与算法误差程度之间的相关性进行探讨。

为了提高三角变换法的精度和抗干扰能力，同时降低算法对滤波及采样精度的依赖性，本文通过引入的检测点间的采样点数，重新推导了频率检测的三点法和六点法。接着分析了待测信号出现误差时，算法的误差的数学机理。根据误差机理和牛顿迭代法，大致估计出了可以抑制算法误差的最优检测点间隔。通过最优间隔的选取和少数结果奇异点的剔除，即使待测信号存在一定误差，三角变换法的精度也能满足工程需要。为定量验证本文研究的正确性，文中还对结果曲线的畸变率进行了定义。

1 三角变换测频法

1.1 三点法

三点法是三角变换法的一种，其具体推导过程如下。

设电网中无畸变电压信号为

u(t)=Umsin(ωt-φ)

(1)

其中ω=2πf，f为信号真实频率。

利用频率fs对u(t)进行采样，令α=ωt-φ，将u(t)改写为

u(t)=Umsinα

(2)

在采样序列中，等时间间隔选取三个检测点ui，ui-n和ui-2n。与传统三点法推导不同，本文在检测点的选取中，引入了变量n，n可视为相邻检测点之间的采样点数。n/fs即为检测点之间的时间间隔。设

θ=ωn/fs=2πnf/fs

(4)

则有

f=θfs/(2πn)

(5)

ui，ui-n和ui-2n可表示为

ui=Umsin(αi)

(6)

ui-n=Umsin(αi-θ)

(7)

ui-2n=Umsin(αi-2θ)

(8)

根据三角变换，可得

ui+ui-2n=2ui-ncosθ

(9)

所以

θ=arccos((ui+ui-2n)/(2ui-n))

(11)

故得到测频公式：

f=arccos((ui+ui-2n)/(2ui-n))fs/(2πn)

(12)

其中ui-n不能为0，否则式(12)无意义。为了保证θ的反三角函数结果精度，可以采用二次最佳平方逼近法求解θ[8]。

1.2 六点法

六点法具体推导过程如下。推导中，同样引入检测点间的采样数n。

对电网中无畸变电网信号采样后，取六个检测点ui-2n-1，ui-2n，ui-n-1，ui-n，ui-1和ui，设

pn(i)=ui(ui-n+ui-n-1)+ui-n(ui+ui-1)

p2n(i)=ui(ui-n+ui-2n-1)+ui-2n(ui+ui-1)

(13)

根据三角变换

(14)

则

p2n(i)/pn(i)=2cos(2πnf/fs)

(15)

故得到测频公式

f=arccos(p2n(i)/(2pn(i))fs/(2πn))

(16)

其中pn(i)不能为0，否则式(16)无意义。可见，六点法与三点法相同，都基于三角变换的测频方法，但是由于其需要六个检测点参与计算，因此快速性稍差。

2 算法误差机理及最优检测点间隔估计

2.1 误差机理

三点法和六点法均要求待测信号是无畸变的高精度基波信号，而滤波和采样装置的精度有限，因此待测信号往往存在误差。待测信号误差导致检测点出现误差，并严重影响算法的精度，甚至使算法失效。故需要进行研究。

由于三点法和六点法都由三角变换导出，且均利用反余弦函数快速求解电网频率，因此二者有着类似的误差机理。设有一频率函数f=y(x)，当出现小偏差Δx时，f出现偏差Δf。根据导数求解的一阶迎风格式，f的导数可近似写为

f′≈Δf/Δx

(17)

即

|Δf|≈|f′‖Δx|

(18)

可见，偏差|Δf|可用|Δx|和x处的导数绝对值近似表征。|Δx|是一未知、随机变量，在测频前不可能预知。但考虑到在工程中，|Δx|一般较小，故|Δf|在很大程度上受|f′|决定。|f′|越大，偏差|Δf|越大，三点法测频精度越低。反之亦然。

式(12)和(16)可改写为下面通式

f=arccos(x)fs/(2πn)

(19)

其中

x=(ui+ui-2n)/(2ui-n)=cos(2πnf/fs)

(20)

或

x=p2n(i)/(2pn(i))=cos(2πnf/fs)

(21)

故

(22)

即

|f′|=|fs/(2πnsin(2πnf/fs))|

(23)

这说明，当采样频率已知时，|f′|的大小受到f及n的影响。也就是说，若检测点出现偏差，三角变换测频法结果的误差程度与信号频率及检测点之间的间隔密切相关。这也可认为是由于反余弦函数特性导致的。

2.2 最优检测点间隔估计

反余弦函数的值域为[0，π]，根据(19)式，有

0≤2πnf/fs≤π

(24)

即

0≤n≤floor(fs/(2f))

(25)

其中floor()为下取整算符。又因为f最大取值为51 Hz，并且参与计算的三个点之间必须有间隔，故n的取值范围改写为

1≤n≤floor(fs/(102))

(26)

由式(26)知(23)式右端项的绝对值符可去除，并改写为

|f′|=fs/(2πnsin(2πnf/fs))

(27)

图1(a)为f分别为49 Hz、50 Hz和51 Hz时，|f′|值随n的变化曲线(作图时，横坐标按式(26)给定n的范围取值)。从图中可以看出，随着n的增加，|f′|先急剧地大幅减小再缓慢地小幅上升。那么，在n的取值区间内，|f′|必存在一极小值点。直接求取|f′|极值略微繁琐，可令p(n)=nsin(2πnf/fs)，则p(n)的极大值点即为|f′|的极小值点。p(n)函数图像如图1(b)所示。p(n)的极大值点可用牛顿迭代法求解下面非线性方程得到，

p′(n)=sin(2πnf/fs)+

2πnfcos(2πnf/fs)/fs

(28)

牛顿迭代法得到的是方程的高精度近似解。将近似解取整后，即得到保证算法精度的最优n值，从而得到最优检测点间隔。

需注意的是，牛顿迭代收敛速度快，却对迭代初值要求较高，因此初值选择时，应配合图像尽量接近真实极大值。另外，也可通过观察图1(b) 直接估计最优n值，这样无需进行牛顿迭代求解，但估计精度会有所下降。

(a) |f′|图像

(b) p(n)图像图1 |f′|和p(n)曲线图像Fig.1 Graph of |f′| and p(n)

表1为fs=3 200 Hz，f分别为49 Hz，50 Hz，51 Hz时迭代得到的最优n值。表中发现，频率波动不大时，n值相差不大，可近似选用n=20来作为最优值。

表1 fs=3200 Hz时，不同频率的最优n值Tab.1 Optimal n at different frequencywhen fs=3200 Hz

在已知fs情况下，上述对n的求解过程完全可在测频前离线计算。当检测点出现误差时，利用所估计的最优n值，算法误差达到最小，这极具工程意义。

3 结果奇异点剔除

由于|Δx|的未知性和随机性，即使采用了误差抑制措施，三角变换法的结果误差也不可能完全消除。算法结果中可能存在着少量由于|Δx|过大造成的奇异点。为提高精度，应将结果中奇异点剔除。

设ui处得到的频率为fi，ui-1处得到的频率为fi-1，若

(29)

则fi应剔除。A是可调阈值，一般可取0.001左右。

利用式(29)对奇异点判断的好处是计算简单，耗时少。缺点是判断精度低。当待判断序列的波动范围较大时，可能出现较多误判断结果。但是由于本文中的频率结果序列已经经过了误差抑制，其波动已大幅降低，故采用式(29)是适合的。

4 实例仿真与讨论

本文编制程序对三角变换法测频过程进行仿真。为验证算法误差的误差机理和误差抑制的正确性，程序中选取了不同n值参与计算。

设一低压电网中的滤波和采样装置精度不足，基波电压信号可以表示为

(30)

其中e(t)为滤波和采样导致的误差信号，如图2所示。误差中包含总畸变率约为0.45% 的3、5、7次谐波，并且含有信噪比约为51 dB的噪声信号。最大误差值约为信号幅值的1%。鉴于目前的低压设备中，滤波和采样装置的精度一般都能达到10-3以上量级，因此类似e(t)这种程度的误差信号完全可作为常见误差。

图2 小误差信号e(t)Fig.2 Minor error signal e(t)

以f=49 Hz为例，用采样频率fs=3 200 Hz对u(t)采样128点。根据三点法或六点法，每个采样点ui处均可得相应的频率值(即，实现了频率跟踪)。为了保持结果的完整性，假设计算从第二个周期开始。图3(a)和(b)分别为利用三点法和六点法得到的频率检测曲线。其中n分别等于1，3，9，20，28和31。观察图3发现，同一信号频率下，无论三点法或是六点法，检测结果曲线均会由于待测信号误差而出现波动。为定量分析各曲线波动情况，定义频率曲线畸变率Ar为

(30)

其中fi为ui处所得的频率，f为理论频率。N为计算所得fi总数。可见，Ar越大，则频率曲线波动越明显。

表2将各n值下频率曲线的畸变率全部列出，结合图3和表2可以看出，n=20时(前文所估计的最优点)，三点法和六点法频率检测曲线最为平滑，畸变率最小。大部分检测结果均较为准确，只有极少量结果奇异点存在由于Δx过大造成的粗大误差。而n≠20时，畸变率增加，曲线均存在较多波动或较多的奇异点，检测结果也存在较多误差。尤其当n=1，3时，此时三个检测点均在1/4信号周期内，但所得结果却严重失真，大部分检测结果已不可靠。

这说明应用三角变换法时，若不能合理选取检测点间隔，不仅算法的精度出现下降，甚至还会导致算法失效。同时，这也说明本文对三角变换法误差机理的分析是正确的，所估计的最优检测点间隔能够较大程度的抑制算法误差。

另外，从图3和表2中还可看出，相同n值下，六点法的频率曲线波动一般都要大于三点法，这是由于六点法计算中所需的检测点较多，结果受检测点误差变化的影响也较大，因此算法精度略低。

图3 频率检测结果曲线Fig.3 Curve of frequency detection表2 不同n值下的频率曲线畸变率Tab.2 Aberration rate of frequency detectioncurve with different n

n畸变率Ar/%三点法六点法110.7109.736.638.091.77.0200.61.2281.05.3311.312

为具体说明三角变换法的测频精度，利用式(6)将n=20时的奇异点剔除，并平均所有结果得平均频率。表3将不同频率下，n=20时的平均频率列出。可以发现，通过误差抑制和奇异点剔除后，三点法的精度可达到10-4量级，六点法精度可达到

表3 n=20时不同频率下的平均检测结果Tab.3 Average detection results at differentfrequency when n=20

10-3量级，能够满足工程需要。

上述分析将误差信号e(t)设定在常见的工程误差范围，为不失一般性，现另取几组较小或较大的误差信号e(t)，并用三角变换法在最优n值下求解平均频率。e(t)的改变通过谐波畸变率和信噪比取值的改变实现。以f=49 Hz为例，各组平均频率如表4所示。观察表中结果可以发现，信号误差较小时，三角变换法具有极高的精度。但随着谐波畸变率的增加和信噪比的降低，误差信号e(t)会逐渐增大，三角变换法的精度也呈下降趋势。尤其在第4、5、6组误差信号中，算法精度较低，因为此时的误差已超出工程允许范围。这意味着，提高滤波和采样装置的精度仍是提高测频精度的根本途径。否则当硬件误差过大时，即使选用最优检测点间隔来抑制误差，三角变换法的精度也可能存在不足。然而，本文的研究在一定程度上降低了三角变换法对硬件精度的依赖性，同时也可以在已有的装置精度基础上，进一步提高测频精度。

表4 n=20时且f=49 Hz时不同误差信号下的平均检测结果Tab.4 Average detection results of different errors signal when n=20 and f=49 Hz

5 结论

当滤波和采样装置存在少量误差时，三角变换法中，各检测点之间的间隔不能随意选取，否则可能导致算法精度下降，甚至算法失效。而本文的三角变换法通过最优检测点间隔的选取和个别结果奇异点的剔除，即使待测信号存在少许误差，也仍可对电网基波频率高精度的检测。但实际应用中应当注意以下几点：

1)提高滤波和采样装置的精度仍是提高频率检测精度的根本途径。本文方法的优势在于可以在一定程度上降低算法对硬件精度的依赖性，同时也可以在已有的装置精度基础上，进一步提高测频精度。

2)由于检测点间采样点数n的增加会导致三角变换法计算的延迟，故为提高算法的抗干扰性，是以牺牲其部分频率跟踪能力为基础的。所以工程中，若滤波和采样精度足够高，应当选用较小的n值参与计算，以提高系统频率跟踪能力。但滤波、采样精度较低时，则必须选用本文的最优n值以提高系统检测精度。

3)由于待测信号误差及其频率的随机性和未知性，本文求解的最优n值是一个估计值，实际的最优值可能在估计值附近小范围波动。但是因为待测信号误差值和频率的波动一般较小，所以本文估计的最优n值完全可以满足工程需要。

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ErrorAnalysisandReductionofFrequencyDetectionAlgorithmBasedonTriangularTransformation

YING Zhan-feng， WU Jun-ji， YI Wen-jun

(School of Power Engineering, Nanjing University of Science & Technology，Nanjing 210094， China)

The error reduction of frequency detection algorithm based on triangular transformation has great significance for power system frequency detection. The algorithm is derived in this paper by introducing the concept of interval of detection point and the error mechanism is analyzed. The research shows that the result precision is related to interval of detection point. By using Extreme Value Analysis and Newton Iteration Method, the optimal interval of detection point can be estimated. With optimal interval and singularity elimination, the algorithm precision can satisfy the engineering demand although the signal to be measured has a certain error. The instance simulation shows that our study can improve precision and anti-interference ability of algorithm and decrease the dependence of algorithm with respect to precision of filtering and sampling device.

frequency detection； triangular transformation； error analysis； Newton iteration method

2009-10-12

2009-12-10

TM930.1

1003-8930(2011)03-0111-07

应展烽(1982-)，男，博士，研究方向为电能质量分析，信号分析与处理。Email:yingzhanfeng@163.com

吴军基(1955-)，男，教授，研究方向为电能质量分析、数据挖掘。Email:wjj802@126.com

易文俊(1970-)，男，教授，研究方向为兵器发射理论，电力系统仿真。Email:wjy@mail.njust.edu.cn