广义Markov切换系统在有界转移概率下的H∞控制

王国良

（辽宁石油化工大学信息与控制工程学院，辽宁抚顺113001）

广义Markov切换系统在有界转移概率下的H∞控制

王国良

（辽宁石油化工大学信息与控制工程学院，辽宁抚顺113001）

研究了连续广义Markov切换系统在有界转移概率下的H∞控制。通过采用保守性较小的估计不等式，得到了连续广义Markov切换系统正则，无脉冲，随机稳定且具扰动系数γ的充分条件。给出了H∞控制器求解条件。最后，通过仿真算例验证了所得结论的有效性。

广义Markov切换系统； 有界转移矩阵；H∞控制

广义系统又叫奇异系统，隐式系统，微分代数系统［1］，由于其较正常系统能更好的描述实际系统而被广泛研究。许多实际系统比如电力和机械系统都是广义系统［2－3］。关于连续广义系统的结果也很多［4－6］。当广义系统的结构和参数有突然变化时，我们就需要用广义Markov系统来描述这种突变，并产生了许多重要的结果［7－9］。但是，前面所提关于Markov切换系统的结果都需要精确的道转移概率。最近，Boukas E K［10］研究了离散Markov切换系统的在有界转移概率下的H∞控制，文献［11］考虑了连续广义Markov切换系统在全部知道或者部分知道转移概率下的镇定问题。

本文重新讨论了连续广义Markov切换系统在有界转移下的H∞控制问题。通过采用较文献［10－11］保守性较小的不等式去估计连续广义Markov切换系统中的ETPj，以线性矩阵不等式（LMIs）的形式给出了系统随机容许且满足H∞性能的充分条件［12］，并给出了相应的H∞控制器设计方法。最后，通过仿真算例验证了所得结论的有效性。

符号说明：M＊表示一个任意矩阵M与其转置之和，即

1 问题描述

考虑如下连续广义Markov切换系统

其中分别是系统的状态，控制输入，输出和干扰输入。矩阵E是奇异矩阵且满足rank（E）＝r＜n。参数η（t）是右连续的Markov链，在有限集合S＝｛1，2，…，N｝中取值且转移概率如下：

其中Δt＞0，，而且转移概率λij≥0，任取i，j∈S，i≠j且

为了简化描述，对于η（t）＝i∈S，矩阵Aη（t）简记为Ai，等等。

假设1：系统（1）的转移概率未知但有界，具体如下：

其中i≠j。

从假设1中，可以看出当仅仅知道转移矩阵中

假设系统（1）中u（t）≡0和ω（t）≡0，并给出如下定义。

定义1［8］：

1）系统（1）是正则的，如果对每一个模态i∈S，多项式det（sE－Ai）都不恒等于零。

2）系统（1）是无脉冲的，如果对每一个模态i∈S，有det（det（sE－Ai））＝rank（E）。

3）系统（1）是随机稳定的，如果对任意初始条件x0和η0，存在正实数M（x0，η0）使得式（5）成立：

4）系统（1）是随机容许的，如果它是正则，无脉冲而且随机稳定。

定义2：给定正实数γ＞0，系统（1）随机容许且满足H∞性能，如果系统（1）随机容许且

在零初始条件和任何非零ω（t）∈L2［0，∞）成立。

本文H∞控制的目的是设计控制器（7），使相应闭环系统随机容许并且满足（6）

其中Ki是要设计的控制器增益。

引理1：给定正实数γ＞0，系统（1）随机容许且满足H∞性能，如果存在矩阵Pi满足如下LMIs

对所有模态i∈S成立。

2 主要结果

定理1： 给定正实数γ＞0，系统（1）在有界概率（4）下随机容许且满足H∞性能，如果存在矩阵Xi和正定矩阵Tij＞0满足如下LMIs

其中

对所有模态i∈S成立。

证明：由式（3）和（4）可知

由式（14）可以得到式（16）蕴涵式（13）

注释1：ETPj在广义Markov切换系统中是奇异的，并会给控制器的求解带来一些问题，文献［11］通过不等式的放缩，解决了控制器的求解问题。在本文中，通过不等式（14）来估计ETPj。令可以得到所以有即本文采用的不等式要比文献［11］中方法的保守性小。

定理2：给定正实数γ＞0存在控制器（7）使得相应的闭环系统（1）在有界转移概率（4）下随机容许且满足H∞性能，如果存在矩阵Xi，Yi和正定矩阵Tij＞0满足如下LMIs

其中对所有模态i∈S成立。控制器增益对所有模态如下

证明：将定理1中的Ai用Ai＋BiKi替换。结合式（19），以及利用类似定理1的证明方法，可以得到定理2。

3 数值算例

例1：考虑形如系统（1）的一个系统，参数如下

假设系统转移矩阵如下：

采用文献［11］的设计方法，不论γ取何值，H∞控制器（7）都没有解。但是，当γ＝1时，利用定理2，可以得到控制器（7）的增益如下：

4 结束语

以LMI的形式给出了连续广义Markov切换系统随机容许且满足H∞性能指标的一个保守较小的充分条件。基于所得结果，进一步给出了H∞控制器的设计方法，即能够使对应的闭环系统不但能随机容许，而且H∞范数小于给定的正数γ。最后通过一个仿真算例验证了所给结果的优越性。

［1］Dai L.Singular control systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，1989.

［2］Campbell S L.Singular systems of dirential equations［M］.London：Pitman，1980.

［3］Muller P C.Linear mechanical descriptor systems：identification，analysis and design［C］//In：Preprints of IFAC.Conference on control of independent systems.France：Belfort，1997：501－506.

［4］Xu S Y，Dooren P V，Stefan R，et al.Robuststability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty［J］.IEEE transaction on automatic control，2002，47（7）：1122－1128.

［5］Lu G P，Ho D W C.Generalized quadratic stability for continuous－time singular systems with nonlinear perturbation［J］.IEEE transaction on automatic control，2006，51（5）：818－823.

［6］Zhu S Q，Zhang C H，Cheng Z L，et al.Delay－dependent robust stability criteria for two classes of uncertain singular time－delay Systems［J］.IEEE transaction on automatic control，2007，52（5）：880－885.

［7］Wu Z G，Su H Y，Chu J.Delay－dependent control of singular Markovian jump systems with time delay［J］.Optimal control application and methods，2009，30（5）：443－461.

［8］Xu S Y，Lam J.Control and filtering of singular systems［M］.Berlin：Springer－Verlag，2006.

［9］Lam J，Shu Z，Xu S Y，et al.Robustcontrol of descriptor discrete－time Markovian jump systems［J］.International journal of control，2007，80（3）：374－385.

［10］Boukas E K.Control of discrete－time Markov jump systems with bounded transition probabilities［J］.Optimal control application and methods，2009，30（5）：477－494.

［11］Boukas E K.On stability and stabilization of continuous－time singular Markovian swithcing systems［J］.IEE proceeding control theory and applications，2008，2（10）：884－894.

［12］闫俊荣，郭西进.Delta算子不确定系统的鲁棒H2/H∞控制［J］.石油化工高等学校学报，2007，20（3）：29－33.

（Ed.：WYX，Z）

Control of Continuous－Time Singular Markovian Jump Systems With Bounded Transition Probabilities

WANG Guo－liang
（School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，Fushun Liaoning113001，P.R.China）

TheH∞control of continuous－time singular Markovian jump systems（SMJSs）with bounded transition probabilities was discussed.Improved sufficient condition for continuous－time SMJSs to be regular，impulse－free and stochastically stable withγ－disturbance attenuation is established via less conservative estimated inequality.The condition for the existence ofH∞controller is established.Finally，an example is presented to show the effectiveness of the proposed approaches.

Singular Markovian jump systems；Bounded transition probabilities；H∞control

.Tel.：＋86－413－6860726；e－mail：gliangwang＠yahoo.com.cn

TP202

A

10.3696/j.issn.1006－396X.2011.01.022

2010－09－26

王国良（1981－），男，山东潍坊市，讲师，博士。

国家自然科学基金资助项目（60974004；60904009）。

1006－396X（2011）01－0093－04

Received26September2010；revised15October2010；accepted4November2010