基于多假设检验的新型小波滤波算法

杜文辽，刘成良，李彦明

(1.上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200240，2.郑州轻工业学院 机电工程学院，郑州 450002)

对含有噪声的信号进行滤波处理是信号处理领域的重要课题之一。由于小波在时频域同时具有良好的局部化功能及多分辨率特性，而受到广泛的应用。小波阈值滤波中，阈值的选取直接影响滤波效果。目前，确定滤波阈值的方法主要有通用阈值法、极小化风险阈值法、多假设检验法和 Bayes Shrink阈值法［1]。Abramovich 和 Benjamini［2]指出，小波阈值处理过程可以看作是一个多重假设检验过程，通过检验小波系数是否为0，仅保留一些较显著的系数，在允许一定误判的情况下，引入 FDR［3]准则，通过step-up过程来确定小波滤波阈值。

Benjamini和Liu［4]提出了基于多假设检验FDR方法的step-down过程，并且指出在假设样本较少并有大量非真假设存在的情况下，该过程较step-up过程具有更大的势(power)。Troendle［5]进一步证明了合适选择临界常数step-up和step-down过程能够控制FDR在给定的水平。Tamhane［6]提出了多假设检验中的step-updown过程，该方法在具有最少拒绝数目先验知识的情况下非常有效。Sarker［7]证明了 step-up和 step-down过程在控制FDR本质上是一致的。

本文将step-up-down过程控制FDR的方法引入到确定小波滤波阈值的算法中，该方法不仅适于具有信号噪声先验知识的情况，而且也适于没有先验知识的情况，并能够加快阈值的确定过程。通过灵活设置显著性水平，可以得到满意的滤波效果。

1 FDR的定义

对于单个假设检验问题，设Θ是参数空间，θ为参数。θ∈Θ0代表原假设，记为H0。与H0不相容的假设称为备择假设，记为H1，这时θ∈Θ1。这里Θ0∩Θ1=Ω，Θ0∪Θ1=Θ。通常的检验策略是控制第Ⅰ类错误，即弃真错误，同时尽量减小犯第Ⅱ类错误，即取伪错误。

同时对多个假设进行检验时，情况将变得更为复杂。表1给出了m个假设检验的不同结果。这时候每个检验都可能同时存在第Ⅰ类错误和第Ⅱ类错误，如何衡量总体检验的错误率是不确定的。传统上采用family wise错误率(FWER)，但在很多情况下，FWER过于保守。Benjamini和Hochberg［3]引入了一个新的准则——错误发现率(FDR)来衡量总体检验的错误率，FDR指在多重假设检验中，错误的拒绝频数与拒绝频数比值的数学期望，可以表示为:q=FDR=，在相同控制水平下，FDR控制过程较FWER控制过程拒绝更多的原假设，即FDR相对宽松，从而具有更大的势。

表1 多假设检验输出结果Tab.1 Possible outcomes from m hypothesis tests

2 Step-up和step-down过程控制FDR

Benjamini和 Hochberg［3]提出的多假设检验 FDR准则(记为 BH FDR)，检验方法采用的是 Simes［8]提出的算法，其检验过程如下:参数空间Θ中各样本点为独立同分布，设 p1，p2，…，pm为检验统计量的 p值，其大小反映了显著性水平的高低，对应的原假设为H(1)，H(2)，…，H(m)。对p值进行排序得到序列 p(1)≤p(2)≤…≤p(m)，记p(t)对应的原假设为H(i)，从最大的p值p(m)开始，依次是 p(m－1)，p(m－2)，…，取临界常量 c(i)=(i/m)q，令 k=max{i∶p(i)≤c(i)}，然后拒绝所有的H(i)，i=1，2，…，k。这就是控制 FDR 显著性水平在 q的step-up过程。

Benjamini和 Liu［4]给出了一种 FDR step-down 控制过程:从最小的p值p(1)开始，依次是p(1)，p(2)，…，取临界常量，令k=min{i∶p(i)＞ c(i)}，然后拒绝所有的 H(i)，i=1，2，…，k。可以证明，该过程也能控制FDR在水平q，并且在m较小并且有大量非真假设存在的情况下，该过程较step-up过程具有更大的势。

3 FDR step-up-down小波阈值滤波算法

FDR多假设检验过程要求样本是独立(independent)分布的，一般时序信号并不符合FDR多假设检验过程的条件。正交小波变换具有很强的去相关特性，经过小波变换得到的小波系数可以认为是相互独立的，由于小波阈值滤波可以看作是一个多假设检验过程，得出FDR step-up-down小波滤波算法如下:

对 pj，k按从小到大排序，即 p(1)≤p(2)≤…≤p(m)，每一个 pi对应的小波系数为，对应的原假设0)记为 H(1)，H(2)，…，H(m)。选择评价常数 0≤c(1)≤c(2)≤…≤c(m)≤1，暂取 c(i)=(i/m)q，并选取 r初始值。

(2)如果p(r)≤c(r)，那么拒绝原假设H(1)，H(2)，…，H(r)，转(4)。

(3)如果 p(r)＞c(r)，接受原假设，H(1)，H(2)，…，H(r)，转(5)。

(4)令H(i)表示最后拒绝的原假设(在(2)中，i=r)，如果i=m，停止并且 k=i;否则，检查 H(i+1)，如果p(i+1)＞c(i+1)，那么接受 H(i+1)，H(i+2)，…，H(m)并停止并且k=i。如果p(i+1)≤c(i+1)，那么拒绝H(i+1)。令i=i+1，返回(4)。这一步中 c(i)=1－［1－min(1，mq/(m

(5)令H(i)表示最后接受的原假设(在(3)中，i=r)，如果 i=1，停止并且 k=i;否则，检查 H(i－1)，如果p(i－1)≤c(i－1)，那么拒绝 H(i－1)，H(i－2)，…，H(1)并停止并且 k=i。如果 p(i－1)＞ c(i－1)，那么接受 H(i－1)。令 i=i－1，返回(5)。

(6)计算阈值，阈值就是上面得到的p(k)对应的小波系数，并对小波系数进行阈值化处理。

显然，上面算法中，如果r=m，则是step-up过程;如果r=1，则是step-down过程。当具有r的先验知识的时候，也就是如果知道大约有r0个0假设为真，则取r=r0。当没有这个先验知识的时候，可以由程序生成一个随机数 r∈［1，m] 。

在对小波系数进行阈值化处理中，常用的阈值函数有硬阈值方法和软阈值方法两种，硬阈值函数是不连续函数，会产生一些间断点，实践证明软阈值效果较好［9]。对任一小波系数 θ^j，k，软阈值函数为:

T为由FDR step-up-down方法得出的小波阈值。

4 算例

为了验证本文方法的效果，以Matlab工具箱中的典型信号heavy sine为例进行仿真实验。通过对原始信号叠加白噪声形成待处理信号，利用db5小波对信号进行5层分解，实验中采用前述软阈值方法。图1为原始信号、含噪信号及显著性水平取0.05时经FDR step-up-down滤波后的对比图。为对比不同显著性水平的影响及不同降噪方法的效果，以信噪比和最小均方误差为度量指标，表2列出了对seavy sine含噪信号分别采用BH FDR、FDR step-up-down、heursure、sqtwolog阈值滤波后的结果。其中，对BH FDR和FDR step-updown 的显著性水平分别取 0.05、0.2。

信噪比及最小均方误差采用如下公式计算［10]:

从图1可以看出，对含噪信号利用本文提出的FDR step-up-down方法滤波后，信号质量明显得到改善。从表2根据SNR、MSE计算出的结果来看，改变FDR显著性水平的大小对信号质量的改善影响也非常显著。在大部分情况下，本文所提出的方法较经典的BH FDR方法表现更佳，其性能与heursure滤波效果相当，这三种阈值都明显优于sqtwolog方法。分析表2还可以看到，FDR step-up-down方法可以根据滤波结果灵活选择显著性水平的大小，进而取得比较理想的滤波效果。由于对FDR step-up-down过程r初始值的选取是采用取随机数的方法，每执行一次滤波过程得到的SNR、MSE会有所变化，但总体上其势要大于FDR过程，并且在小波系数较多的情况下，可以明显提高算法的速度。如果已知信号中噪声点的先验知识，可以根据该先验知识确定r的初始值，从而获得较大的势。

表2 heavy sine信号小波去噪前后不同阈值准则对比(SNR/MSE)SNR单位:dBTab.2 The compare of wavelet de-noising of heavy sine signal with different methods(SNR/MSE)

图1 不同信噪比heavy sine信号q=0.05时滤波效果Fig.1 The de － noising result of heavy sine signal with different SNR at q=0.05

下面用一组来自美国Case Western Reserve University电气工程实验室的滚动轴承实验数据来进行实例验证，轴承型号SKF6205，采样频率为12 kHz。图2上部分为轴承内圈损伤的振动加速度原始信号，下部分为利用本文所提方法进行小波分解重构后的信号，其中，选择db5小波，显著性水平取0.05。从图中可以看出经过滤波后信号质量有了明显改善。

图2 滚动轴承内圈故障原始数据及滤波结果Fig.2 Original signal and De-noised signal of ball bearing inner race fault

图3 不同显著性水平下得到的信噪比Fig.3 The SNR for different significant levels

为了考察采用不同显著性水平时，FDR step-updown方法对滤波效果的影响，采用前述heavy sine信号，叠加白噪声信号，形成SNR为21.7371的待处理信号。取显著性水平变化范围为0.05到0.4，步长0.01。利用db5小波对信号进行5层分解，采用前述软阈值方法进行滤波。经FDR step-up-down方法滤波后计算出对应的SNR如图3所示。从图中可以看出，FDR step-up-down滤波效果与显著性水平大小的选取关系很大，并且表现出并非简单的线性关系。分析其中存在的原因，主要是FDR step-up-down方法初始启动值的影响，另外，显著性水平反映了错误拒绝原假设的情况，但是并没有考虑到错误接受备择假设。因此，如果只选择显著性水平作为小波滤波阈值选择的依据，就必须根据经验选择合适的显著性水平，或者考虑错误接受备择假设的情况进行折中。

5 结论

本文针对小波滤波算法中阈值选取问题，构造了FDR step-up-down过程确定小波滤波阈值的新算法。在具有噪声信息先验知识的前提下，可以更有效、快捷的求得阈值，但是在通常情况下，关于噪声的先验知识比较难以获得，这时，用随机数方法产生一个初始的启动值r，也同样可以体现出算法的优越性。在算法实现过程中，可以根据滤波效果，灵活选择显著性水平的大小，这是该算法的另一个优势。仿真实验表明，显著性水平大小的选择对滤波效果有明显的影响，如何更进一步将错误接受择备假设的情况考虑进来，是下一步改进的方向。

［1] 潘 泉，张 磊，孟晋丽，等.小波滤波方法及应用［M] .北京:清华大学出版社，2005.

［2] Abramovich F，Benjamini Y. Thresholding of wavelet coefficients as multiple hypotheses testing procedure［J] .Lecture Notes in Statistics，1995，103:5 －14.

［3] Benjamini Y，Hochberg Y.Controlling the false discovery rate:a practical and powerful approach to multiple testing［J] .Journal of the Royal Statistical Society.Series B(Methodological)，1995，57(1):289 －300.

［4] Benjamini Y，Liu W.A step-down multiple hypotheses testing procedure that controls the false discovery rate under independence［J] . Journal of Statistical Planning and Inference，1999，82(1 －2):163 －170.

［5] Troendle JF.Stepwise normal theory multiple test procedures controlling the false discovery rate［J] .Journal of Statistical Planning and Inference，2000，84(1 －2):139 －158.

［6] Tamhane A C，Liu W，et al.A generalized step-up-down multiple test procedure［J] .Canadian Journal of Statistics，1998，26(2):353 －363.

［7] Sarkar SK.Some results on false discovery rate in stepwise multiple testing procedures［J] .Annals of Statistics，2002，30(1):239－257.

［8] Simes R.An improved bonferroni procedure for multiple tests of significance［J] .Biometrika，1986，73(3):751 －754.

［9] Donoho D.De-noising by soft-thresholding［J] . IEEE transactions on information theory，1995，41(3):613 －627.

［10] 刘卫东，刘尚合，胡小锋，等.小波阈值去噪函数的改进方法分析［J] .高电压技术，2007，33(10):59 －63.