键合图理论在三轴差动机构效率分析中的应用

李庆凯，唐德威，姜生元，邓宗全

(哈尔滨工业大学 机器人技术与系统国家重点实验室，150001哈尔滨，dwtang@hit.edu.cn)

因此三轴差动机构的效率为

当轮式管道机器人通过弯管时，由于各驱动轮走过的实际弧长不同，某些驱动轮成为事实上的制动轮而使机器人产生运动干涉，从而降低了机器人的有效拖动力和加剧了传动部件的磨损.为解决这一问题，将三轴差动机构应用于轮式管道机器人中，各驱动轮可通过三轴差动机构根据管道形状自动调节其转速，有效地解决了轮式管道机器人通过弯管时的产生的运动干涉问题[1].由于三轴差动机构的传动关系较为复杂，其机械效率是评估该机构能否在工程实际中应用的一项重要指标，需要从理论上对该机构进行效率的分析.而轮系的功率流情况是进行效率分析的基础.目前对轮系进行功率流分析时，一般采用离散法对轮系的功率流进行判别[2－3]，但此方法在应用上，需要以人工方式判断功率传递的方向，判别过程较为繁琐，容易发生错误，不适用于较为复杂的轮系的功率流分析.

键合图(Bond Graph)理论是20世纪60年代初由美国的H.M.Paynter教授所提出的系统动力学建模统一化方法[4]，经多年的研究及发展[5－10]，已得到了实际应用[11－12].

本文利用键合图功率流动的特点，将键合图理论应用到三轴差动机构功率流的分析中，以得到的三轴差动机构的功率流情况为基础，对三轴差动机构的力矩传递特性进行分析及效率计算.

1 三轴差动机构原理简介

三轴差动机构是一个3自由度机构，由空间分布的4个普通圆锥齿轮差速器按一定关系组成，其传动原理如图1所示.右侧3个称为主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，左侧一个称为分动器Ⅳ，其中主差速器Ⅲ通过惰轮ID与分动器Ⅳ系杆轴H4的直齿轮相啮合.由主输入齿轮A0输入主运动ωA0，由3个差速器的系杆轴H1、H2 和H3 输出运动 ωH1、ωH2、ωH3.

图1 三轴差动机构原理图[1]

该机构具有由1个输入运动获得3路差动输出运动的功能，且当输入转速一定时，3个输出轴的转速比决定于外部环境的几何约束关系，有

在不考虑功率损失的前提下，三轴差动机构3个输出轴的输出转矩相等且为输入转矩的三分之二，即

2 三轴差动机构的键合图模型

2.1 主差速器的键合图模型的建立

主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及分动器Ⅳ形式一致，均属于2K－H行星轮系，以主差速器Ⅰ为例进行键合图模型建立过程的说明.如图1所示，主差速器Ⅰ有系杆轴H1、行星轮C1、中心轮A1和B1这4个基本构件，其转速分别为 ωH1、ωC1、ωA1和 ωB1，则其转速关系为

由式(3)得到两个相对速度(ωA1－ωH1)和(ωB1－ ωH1)，结合4个绝对速度ωH1、ωC1、ωA1和ωB1，可按绝对速度法建立主差速器Ⅰ的键合图模型.

1)对4个构件的绝对速度和2个相对速度建立相应的1结;2)在相应的1结之间键间TF元和0结，用以建立相关速度之间的关系，并根据速度之间的关系标注功率流向;3)将模拟转动惯量的惯性元件键接在相应的1结上;4)对建立的键合图模型标注合适的因果关系.

在不考虑传动功率损失的前提下，建立的主差速器Ⅰ的键合图模型如图2所示，图中IH1、IA1、IB1、IC1为 4 个基本构件的转动惯量，TH1、TA1、TB1为 3 个绝对速度 ωH1、ωA1、ωB1为对应的势变量，变换器TF1=TF2=1.

图2 主差速器Ⅰ的键合图模型

从式(4)可知主差速器Ⅰ的键合图模型满足差速器的基本关系.主差速器Ⅱ、Ⅲ与分动器Ⅳ的键合图模型与主差速器Ⅰ的键合图模型形式一致，只是惯性元件的参数不同而已.

从图2可以得到主差速器Ⅰ的静态关系为

2.2 三轴差动机构键合图模型的建立

根据图1所示的三轴差动机构的传动原理，在主差速器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ与分动器Ⅳ之间键入相应的变换器TF、惯性元件I及容性元件C，将这4个基本单元相连接;当管道机器人在弯管内匀速运行时，驱动轮的速度受到管道环境的约束，因此在系杆轴 H1、H2、H3 处添加相应的流源 Sf1、Sf2、Sf3作为速度约束;动力由输入齿轮A0提供，因而在输入端添加一个势源Se0作为动力输入源;由于3个主差速器的功能形式一致，因此只需对主差速器Ⅰ进行单独标号，建立的三轴差动机构的键合图模型如图3所示.经验证该键合图的静态关系满足式(1)和(2).同时为便于仿真计算，将三轴差动机构的键合图用虚线划分为3个主差速器、分动器以及动力输入5个模块.

图3 三轴差动机构的键合图模型

图3中IID为惰轮ID的转动惯量;IA0为主输入齿轮A0的转动惯量;IH4、IC4、IA4和IB4分别为分动器Ⅳ的系杆轴H4、行星轮C4、中心轮A4和B4的转动惯量，相应位置的主差速器Ⅱ、Ⅲ的惯性元件与主差速器Ⅰ的惯性元件一一对应.容性元件 CH1、CH2、CH3、CH4为系杆轴 H1、H2、H3、H4 扭转刚度的倒数;在建立键合图模型时，有时为了顺利地实现因果关系的划分，在不影响系统原理的前提下，可在相应的图元之间添加一个0结和刚度很大的容性元件C0，从而改变相应键的因果关系，如主差速器Ⅰ中与键16、21及另外两个主差速器对应键相连接的容性元件;由于齿轮之间的啮合刚度较大，因此可忽略其柔度并将其作为刚性传动考虑.

3 键合图模型的仿真

3.1 键合仿真模型的建立

键合图模型可以很方便地转换为控制工程领域中用来表示信号流的方块图，而方块图可以使用现有控制工程理论求解且可利用Simulink进行仿真计算.根据图3中划分的各个模块，建立相应的方块图，并将各模块相连利用Simulink进行仿真计算，如图4所示.

由于建立的键合图模型考虑了扭转刚度，因此该仿真模型属于刚性系统，采用ode23tb的积分方法进行求解.通过改变速度输入源Sf1、Sf2和Sf3之间的大小关系进行仿真，即可得到三轴差动机构在不同工况下的功率流情况.

图4 三轴差动机构的Simulink仿真模型

从三轴差动机构键合图建立及求解的过程可以看出，只要已知任意复杂轮系的传动关系，就可以建立该轮系的键合图模型进行仿真计算，而且模型的参数修改较为方便.

3.2 三轴差动机构的功率流

由于从键合图可以得到任一所关心的变量以及键合图各构件之间功率传递的特点，可以通过键合图模型的求解对主差速器与分动器之间的功率流向，以及各单元转换机构的功率流向进行判别.

以主差速器Ⅰ与分动器的连接键18为例，当e18·f18＞0时，功率由主差速器Ⅰ流向分动器;当e18·f18＜0时，功率由分动器Ⅳ流向主差速器Ⅰ;当e18·f18=0时，由主差速器Ⅰ与分动器之间无功率流动.另外需要对主差速器及分动器的转换机构的功率流向进行判别.以主差速器Ⅰ为例进行说明，当TH1·(ωA1－ωH1)＞0时，在转换机构中功率由中心轮A1流向中心轮B1;当TH1·(ωA1－ωH1)＜0时，在转换机构中功率由中心轮B1流向中心轮A1;当TH1·(ωA1－ωH1)=0时，转换机构中无功率流动，即主差速器Ⅰ不差动.

由于主差速器Ⅰ、Ⅱ形式和分动器间的传动路线一致，因此系杆转速ωH1和ωH2地位相同，当3个输出转速不全相等且不等于输入转速的一半时，可将速度输入分为以下几种情况:

1)ωH1≥ ωH2＞ 0.5ωA0＞ ωH3，

2)ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH2≥ ωH3，

3)ωH1≥ ωH3＞ 0.5ωA0＞ ωH2，

4)ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH3≥ ωH2，

5)ωH3≥ ωH1＞ 0.5ωA0＞ ωH2，

6)ωH3＞ 0.5ωA0＞ ωH1≥ ωH2.

通过仿真可得各种速度约束下三轴差动机构的功率流情况，如图5所示.图中三轴差动机构的基本构件用“●”来表示，主差速器及分动器分别由4个“●”组成一个单元，图中实线表示构件之间的功率传递，虚线表示主差速器及分动器的转换机构中功率的流动情况，箭头表示功率的流动方向.其中工况2)和4)的功率流一致，3)和5)的功率流一致.

另外，当ωH2＞ωH1时，分动器转换机构中功率由A4流向B4;当ωH2=ωH1时，分动器转换机构中无功率流动.当3个输出转速有1个转速等于输入转速的一半时，该转速对应的主差速器与分动器间无功率流动;当3个输出转速相等时，分动器无功率输入，即分动器不工作，相当于机器人在直管中运行.

通过对三轴差动机构不同速度约束下的功率流情况进行分析，根据的得出的功率流图，可知该机构属于功率汇流型，无循环功率存在，不存在自锁的可能性.

4 效率计算

在得到三轴差动机构各差速器间的功率流向及各差速器转换机构的功率流向后，便可进行三轴差动机构的力矩特性分析，从而对三轴差动机构的效率进行计算.由于受篇幅限制，只对图5(a)的功率流情况进行效率分析.

图5 不同速度约束下的三轴差动机构的功率流图

对动力输入齿轮A0进行受力分析，可得

式中:TA0为主输入齿轮A0的输入力矩;T'Ai为差速器内部对中心齿轮Ai的作用力矩，其中i=1，2，3;TAi为差速器外部对中心齿轮Ai的作用力矩，其中i=1，2，3，且=－TAi;i0为初级传动比，i0=－1;η0为单对直齿轮的传动效率.

对3个主差速器及分动器有力矩平衡关系为

式中:TAi为差速器外部对中心齿轮Ai的作用力矩;TBi为差速器外部对中心齿轮Bi的作用力矩;THi为差速器外部对系杆Hi的作用力矩，其中i=1，2，3，4.

根据功率流图5(a)，可得主差速器与分动器间的力矩传递关系

式中:iA4－B1、iB4－B2、iB3－H4为差速器间齿轮的传动比，其中 iA4－B1=iB4－B2= － 1，iB3－H4=2.

根据主差速器与分动器转换机构的功率流向，得

联立式(5)～(8)可得三轴差动机构输出力矩与输入力矩的关系

从式(9)可以得出三轴差动机构的输出力矩近似相等，约为输入力矩的2/3.

当ωH1≥ωH2＞0.5ωA0＞ ωH3，假设3个输出轴的速比关系为ωH1∶ωH2∶ωH3=1∶λ1∶λ2，联立式(1)可得3个输出轴的转速

从式(10)可以看出，三轴差动机构的效率与输出转速的速比、转换机构的传动效率和单对直齿轮的传动效率有关.

因此三轴差动机构的效率为

5 结论

1)将键合图理论成功应用于复杂轮系的功率流分析，该理论可作为复杂轮系功率流分析的一种新的方法，比传统方法更具系统性，便于使用计算机进行求解.

2)利用绝对速度法建立了三轴差动机构的键合图模型，并根据相应的转换规则对该模型进行了仿真求解.

3)通过仿真可以得到三轴差动机构在不同速度约束下的内部功率流，以及主差速器和分动器转换机构的功率流情况，得出了三轴差动机构属于功率汇流型机构的结论.

4)在求得三轴差动机构功率流的基础上，对该机构的力矩传递特性进行了分析，并对三轴差动机构进行了效率计算，为其推广和应用奠定了基础.

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